Ισοπλευρίτις

Συντονιστής: Τηλέγραφος Κώστας

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 10673
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Ισοπλευρίτις

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Πέμ Αύγ 01, 2019 8:36 am

Ισοπλευρίτις.png
Ισοπλευρίτις.png (12.22 KiB) Προβλήθηκε 228 φορές
Επί της ημιευθείας με εξίσωση : y=\lambda x , θεωρούμε σημείο K . Ο κύκλος κέντρου K ,

ο οποίος εφάπτεται του ημιάξονα Oy σε σημείο P , τέμνει τον Ox στα σημεία S,T .

Αν το τρίγωνο KST είναι ισόπλευρο , υπολογίστε την τιμή του \lambda .



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 6607
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Ισοπλευρίτις

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Πέμ Αύγ 01, 2019 9:12 am

Κατασκευή-Υπολογισμός
Ισοπλευρίτις.png
Ισοπλευρίτις.png (32.97 KiB) Προβλήθηκε 215 φορές
Πάνω στο θετικό κατακόρυφο ημιάξονα θεωρώ τυχαίο σημείο P και σημείο S στο θετικό οριζόντιο ημιάξονα με \widehat {OPS} = 30^\circ .

Στη κάθετη στο P επί τον Oy θεωρώ σημείο K με KP = KS. Ο κύκλος (K,KP) τέμνει τον οριζόντιο άξονα στα S\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\,T.

Προφανώς το \vartriangle KST είναι ισόπλευρο έστω πλευράς a. Αν M το μέσο του ST θα είναι :

OM = OS + SM = \dfrac{a}{2} + \dfrac{a}{2} = a οπότε : \boxed{\lambda  = \tan \theta  = \dfrac{{KM}}{{OM}} = \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}}


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 8197
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Ισοπλευρίτις

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Πέμ Αύγ 01, 2019 9:45 am

Ισοπλευρίτις..png
Ισοπλευρίτις..png (14.88 KiB) Προβλήθηκε 206 φορές
\lambda r=r\dfrac{\sqrt 3}{2}, άρα \boxed{\lambda=\frac{\sqrt 3}{2}}


Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 11267
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Ισοπλευρίτις

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Πέμ Αύγ 01, 2019 11:09 am

Για όφελος των μαθητών μας, ας το δούμε και με Αναλυτική Γεωμετρία, για να υπάρχει.

Το κέντρο του κύκλου είναι είναι επί της y=\lambda x άρα είναι της μορφής (a, \lambda a). Η ακτίνα του είναι KP=a, οπότε έχει εξίσωση (x-a)^2+(y-\lambda a)^2=a^2. Για να βρούμε τα S, T θέτουμε y=0, οπότε έχουμε (x-a)^2+ \lambda ^2a^2=a^2. Λύνοντας θα βρούμε x = a\pm \sqrt {a^2-\lambda a^2}, άρα ST=  ( a+ \sqrt {a^2-\lambda a^2})-( a- \sqrt {a^2-\lambda a^2}) =  2\sqrt {a^2-\lambda ^2a^2}. Όμως ST=a (συνθήκη ισοπλεύρου). Λύνοντας την  2\sqrt {a^2-\lambda ^2a^2}= a θα βρούμε \lambda = \pm \dfrac {\sqrt 3}{2}, και κρατάμε το "συν".


Άβαταρ μέλους
angvl
Δημοσιεύσεις: 113
Εγγραφή: Πέμ Μάιος 12, 2011 3:10 pm

Re: Ισοπλευρίτις

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από angvl » Πέμ Αύγ 01, 2019 10:01 pm

Doloros έγραψε:
Πέμ Αύγ 01, 2019 9:12 am
Κατασκευή-Υπολογισμός

Ισοπλευρίτις.png

Πάνω στο θετικό κατακόρυφο ημιάξονα θεωρώ τυχαίο σημείο P και σημείο S στο θετικό οριζόντιο ημιάξονα με \widehat {OPS} = 30^\circ .

Στη κάθετη στο P επί τον Oy θεωρώ σημείο K με KP = KS. Ο κύκλος (K,KP) τέμνει τον οριζόντιο άξονα στα S\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\,T.

Προφανώς το \vartriangle KST είναι ισόπλευρο έστω πλευράς a. Αν M το μέσο του ST θα είναι :

OM = OS + SM = \dfrac{a}{2} + \dfrac{a}{2} = a οπότε : \boxed{\lambda  = \tan \theta  = \dfrac{{KM}}{{OM}} = \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}}
Στο παραπάνω σχήμα.

KM είναι το ύψος του ισοπλεύρου τριγώνου , άρα

 \displaystyle KM = \frac{R\sqrt{3}}{2}

Επίσης το KM είναι το απόστημα της χορδής ST άρα \displaystyle SM = \frac{ST}{2}=\frac{R}{2}

\displaystyle PK = MO=R

Στο τρίγωνο \displaystyle OMK

\displaystyle \lambda = \tan \theta=\frac{KM}{OM} =\frac{R\sqrt{3}}{2R}=\frac{\sqrt{3}}{2}


Καλό Καλοκαίρι!
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 3 επισκέπτες