Ισοπλευρίτις

KARKAR · #1

: Ισοπλευρίτις.png (12.22 KiB) Προβλήθηκε 739 φορές

Επί της ημιευθείας με εξίσωση : $y=\lambda x$ , θεωρούμε σημείο

. Ο κύκλος κέντρου

,

ο οποίος εφάπτεται του ημιάξονα

σε σημείο

, τέμνει τον

στα σημεία S,T

.

Αν το τρίγωνο KST

είναι ισόπλευρο , υπολογίστε την τιμή του $\lambda$ .

#2

Κατασκευή-Υπολογισμός

: Ισοπλευρίτις.png (32.97 KiB) Προβλήθηκε 726 φορές

Πάνω στο θετικό κατακόρυφο ημιάξονα θεωρώ τυχαίο σημείο

και σημείο

στο θετικό οριζόντιο ημιάξονα με $\widehat {OPS} = 30^\circ$ .

Στη κάθετη στο

επί τον

θεωρώ σημείο

με

. Ο κύκλος (K,KP)

τέμνει τον οριζόντιο άξονα στα $S\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\,T$ .

Προφανώς το $\vartriangle KST$ είναι ισόπλευρο έστω πλευράς

. Αν

το μέσο του

θα είναι :

$OM = OS + SM = \dfrac{a}{2} + \dfrac{a}{2} = a$ οπότε : $\boxed{\lambda = \tan \theta = \dfrac{{KM}}{{OM}} = \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}}$

#3

: Ισοπλευρίτις..png (14.88 KiB) Προβλήθηκε 717 φορές

$\lambda r=r\dfrac{\sqrt 3}{2},$ άρα $\boxed{\lambda=\frac{\sqrt 3}{2}}$

#4

Για όφελος των μαθητών μας, ας το δούμε και με Αναλυτική Γεωμετρία, για να υπάρχει.

Το κέντρο του κύκλου είναι είναι επί της $y=\lambda x$ άρα είναι της μορφής $(a, \lambda a)$ . Η ακτίνα του είναι KP=a

, οπότε έχει εξίσωση $(x-a)^2+(y-\lambda a)^2=a^2$ . Για να βρούμε τα S, T

θέτουμε

, οπότε έχουμε $(x-a)^2+ \lambda ^2a^2=a^2$ . Λύνοντας θα βρούμε $x = a\pm \sqrt {a^2-\lambda a^2}$ , άρα $ST= ( a+ \sqrt {a^2-\lambda a^2})-( a- \sqrt {a^2-\lambda a^2}) = 2\sqrt {a^2-\lambda ^2a^2}$ . Όμως ST=a

(συνθήκη ισοπλεύρου). Λύνοντας την $2\sqrt {a^2-\lambda ^2a^2}= a$ θα βρούμε $\lambda = \pm \dfrac {\sqrt 3}{2}$ , και κρατάμε το "συν".

angvl · #5

Doloros έγραψε: ↑
Πέμ Αύγ 01, 2019 9:12 am
Κατασκευή-Υπολογισμός

Ισοπλευρίτις.png

Πάνω στο θετικό κατακόρυφο ημιάξονα θεωρώ τυχαίο σημείο και σημείο στο θετικό οριζόντιο ημιάξονα με $\widehat {OPS} = 30^\circ$ .

Στη κάθετη στο επί τον θεωρώ σημείο με . Ο κύκλος τέμνει τον οριζόντιο άξονα στα $S\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\,T$ .

Προφανώς το $\vartriangle KST$ είναι ισόπλευρο έστω πλευράς . Αν το μέσο του θα είναι :

$OM = OS + SM = \dfrac{a}{2} + \dfrac{a}{2} = a$ οπότε : $\boxed{\lambda = \tan \theta = \dfrac{{KM}}{{OM}} = \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}}$

Στο παραπάνω σχήμα.

είναι το ύψος του ισοπλεύρου τριγώνου , άρα

$\displaystyle KM = \frac{R\sqrt{3}}{2}$

Επίσης το

είναι το απόστημα της χορδής

άρα $\displaystyle SM = \frac{ST}{2}=\frac{R}{2}$

$\displaystyle PK = MO=R$

Στο τρίγωνο $\displaystyle OMK$

$\displaystyle \lambda = \tan \theta=\frac{KM}{OM} =\frac{R\sqrt{3}}{2R}=\frac{\sqrt{3}}{2}$

Ισοπλευρίτις

Ισοπλευρίτις

Re: Ισοπλευρίτις

Re: Ισοπλευρίτις

Re: Ισοπλευρίτις

Re: Ισοπλευρίτις

Μέλη σε σύνδεση