διχοτόμος

Συντονιστής: Τηλέγραφος Κώστας

Άβαταρ μέλους
exdx
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1428
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 6:00 pm
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης
Επικοινωνία:

διχοτόμος

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από exdx » Πέμ Οκτ 10, 2019 11:26 am

H AD είναι διχοτόμος.
Να εκφράσετε το διάνυσμα \vec{c} ως γραμμικό συνδυασμό των \vec{a},\vec{b}
bisvector.png
bisvector.png (5.89 KiB) Προβλήθηκε 343 φορές


Kαλαθάκης Γιώργης

Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Γιώργος Ρίζος
Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 4415
Εγγραφή: Δευ Δεκ 29, 2008 1:18 pm
Τοποθεσία: Κέρκυρα

Re: διχοτόμος

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Ρίζος » Πέμ Οκτ 10, 2019 11:57 am

Καλημέρα σε όλους.

Από Θ. Διχοτόμων, είναι  \displaystyle \frac{(BD)}{(DC)}=\frac{|\overrightarrow{a}|}{|\overrightarrow{b}|}\Rightarrow \overrightarrow{BD}=\frac{|\overrightarrow{a}|}{|\overrightarrow{b}|}\overrightarrow{DC} .

 \displaystyle\overrightarrow{c}=\overrightarrow{a}+\overrightarrow{BD}\Rightarrow |\overrightarrow{b}|\overrightarrow{c}=|\overrightarrow{b}|\overrightarrow{a}+|\overrightarrow{a}|\overrightarrow{DC} \\ 
 
\overrightarrow{c}=\overrightarrow{b}+\overrightarrow{CD}\Rightarrow |\overrightarrow{a}|\overrightarrow{c}=|\overrightarrow{a}|\overrightarrow{b}+|\overrightarrow{a}|\overrightarrow{CD}

Οπότε, προσθέτοντας κατά μέλη, είναι

  \displaystyle  \overrightarrow{c}=\frac{|\overrightarrow{b}|\cdot \overrightarrow{a}+|\overrightarrow{a}|\cdot \overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{b}|+|\overrightarrow{a}|}


Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 11504
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: διχοτόμος

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Πέμ Οκτ 10, 2019 4:32 pm

Ας σχολιάσω ότι αν επικαλεστούμε την θεωρία μπορούμε να πούμε ότι εφόσον το D χωρίζει το BC σε λόγο BD:DC= |\overrightarrow{a}|  :|\overrightarrow{b}| έχουμε απευθείας

  \displaystyle  \overrightarrow{c}=\dfrac{|\overrightarrow{b}| }{|\overrightarrow{a}|+|\overrightarrow{b}|}\overrightarrow{a}  + \dfrac {|\overrightarrow{b}| } {|\overrightarrow{a}|+|\overrightarrow{b}|}  \overrightarrow{b}} , ως άνω.

Εννοείται, η λύση του Γιώργου έχει την αυτονομία της, που βγάζει το αποτέλεσμα με τα τελείως απαραίτητα.


ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 2640
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: διχοτόμος

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Πέμ Οκτ 10, 2019 10:58 pm

Μπορεί να λυθεί χωρίς θεώρημα διχοτόμου.
Μάλιστα το θεώρημα διχοτόμου μπορεί να προκύψει από την λύση.
Στα παρακάτω τα γράμματα που δεν έχουν τίποτα από πάνω θα είναι διανύσματα.Τα ευθύγραμμα τμήματα που θα βάλω τα θεωρώ διανύσματα.

Το κλειδί είναι ότι διάνυσμα με φορέα την διχοτόμο έχει την μορφή
k(\frac{a}{|a|}+\frac{b}{|b|}),k\in \mathbb{R}

Ετσιc= k(\frac{a}{|a|}+\frac{b}{|b|})(1)

Αλλά BD=c-a,CD=c-b

Λόγω συγραμμικότητας θα υπάρχει \lambda \in \mathbb{R}

ώστε BD=\lambda CD

δηλαδή c-a=\lambda (c-b)

Αντικαθιστώντας στην τελευταία την (1) η γραμμική ανεξαρτησία των a,b
μας δίνει

\frac{k(1-\lambda )}{|a|}=1,\frac{k(1-\lambda )}{|b|}=-\lambda

Λύνοντας προκύπτει ότι -\lambda =\frac{|a|}{|b|}
δηλαδή το θεώρημα διχοτόμου

και k=\frac{|a||b|}{|a|+|b|}


Μιχάλης Τσουρακάκης
Δημοσιεύσεις: 1680
Εγγραφή: Παρ Ιαν 11, 2013 4:17 am
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης

Re: διχοτόμος

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μιχάλης Τσουρακάκης » Παρ Οκτ 11, 2019 12:54 am

exdx έγραψε:
Πέμ Οκτ 10, 2019 11:26 am
H AD είναι διχοτόμος.
Να εκφράσετε το διάνυσμα \vec{c} ως γραμμικό συνδυασμό των \vec{a},\vec{b}
bisvector.png

Τα διανύσματα \vec{u} = | \vec{a} | \vec{b} , \vec{v} =| \vec{b} | \vec{a} έχουν ίσα μέτρα κι επομένως το διάνυσμα \vec{u}+ \vec{v}  = | \vec{a} | \vec{b} +| \vec{b} | \vec{a}

είναι συγγραμμικό του \vec{c} λόγω του κανόνα παραλ/μμου (που εδώ είναι ρόμβος)

Το \vec{c} είναι γνωστό ότι γράφεται με μοναδικό τρόπο ως \vec{c} = \lambda  \vec{a} + \mu  \vec{b} με \lambda + \mu =1

Έτσι \vec{c} = \rho ( \vec{u}+ \vec{v}  ) απ όπου λόγω γραμμικής ανεξαρτησίας των \vec{a} , \vec{b} παίρνουμε \lambda = \rho | \vec{b} | και  \mu  = \rho | \vec{a} |

και με πρόσθεση, \rho = \dfrac{1}{| \vec{a} |+| \vec{b} |} οπότε  \lambda  = \dfrac{| \vec{b} | }{| \vec{a} |+| \vec{b} |} , \mu =\dfrac{| \vec{a} | }{| \vec{a} |+| \vec{b} |} και  \vec{c}   = \dfrac{| \vec{b} |  \vec{a} }{| \vec{a} |+| \vec{b} |} +\dfrac{| \vec{a} | \vec{b}  }{| \vec{a} |+| \vec{b} |}


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης