διχοτόμος

#1

H

είναι διχοτόμος.
Να εκφράσετε το διάνυσμα $\vec{c}$ ως γραμμικό συνδυασμό των $\vec{a},\vec{b}$

: bisvector.png (5.89 KiB) Προβλήθηκε 718 φορές

#2

Καλημέρα σε όλους.

Από Θ. Διχοτόμων, είναι $\displaystyle \frac{(BD)}{(DC)}=\frac{|\overrightarrow{a}|}{|\overrightarrow{b}|}\Rightarrow \overrightarrow{BD}=\frac{|\overrightarrow{a}|}{|\overrightarrow{b}|}\overrightarrow{DC}$ .

$\displaystyle\overrightarrow{c}=\overrightarrow{a}+\overrightarrow{BD}\Rightarrow |\overrightarrow{b}|\overrightarrow{c}=|\overrightarrow{b}|\overrightarrow{a}+|\overrightarrow{a}|\overrightarrow{DC} \\ \overrightarrow{c}=\overrightarrow{b}+\overrightarrow{CD}\Rightarrow |\overrightarrow{a}|\overrightarrow{c}=|\overrightarrow{a}|\overrightarrow{b}+|\overrightarrow{a}|\overrightarrow{CD}$

Οπότε, προσθέτοντας κατά μέλη, είναι

$\displaystyle \overrightarrow{c}=\frac{|\overrightarrow{b}|\cdot \overrightarrow{a}+|\overrightarrow{a}|\cdot \overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{b}|+|\overrightarrow{a}|}$

#3

Ας σχολιάσω ότι αν επικαλεστούμε την θεωρία μπορούμε να πούμε ότι εφόσον το

χωρίζει το

σε λόγο $BD:DC= |\overrightarrow{a}| :|\overrightarrow{b}|$ έχουμε απευθείας

$\displaystyle \overrightarrow{c}=\dfrac{|\overrightarrow{b}| }{|\overrightarrow{a}|+|\overrightarrow{b}|}\overrightarrow{a} + \dfrac {|\overrightarrow{b}| } {|\overrightarrow{a}|+|\overrightarrow{b}|} \overrightarrow{b}}$ , ως άνω.

Εννοείται, η λύση του Γιώργου έχει την αυτονομία της, που βγάζει το αποτέλεσμα με τα τελείως απαραίτητα.

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #4

Μπορεί να λυθεί χωρίς θεώρημα διχοτόμου.
Μάλιστα το θεώρημα διχοτόμου μπορεί να προκύψει από την λύση.
Στα παρακάτω τα γράμματα που δεν έχουν τίποτα από πάνω θα είναι διανύσματα.Τα ευθύγραμμα τμήματα που θα βάλω τα θεωρώ διανύσματα.

Το κλειδί είναι ότι διάνυσμα με φορέα την διχοτόμο έχει την μορφή
$k(\frac{a}{|a|}+\frac{b}{|b|}),k\in \mathbb{R}$

Ετσι $c= k(\frac{a}{|a|}+\frac{b}{|b|})$ (1)

Αλλά BD=c-a,CD=c-b

Λόγω συγραμμικότητας θα υπάρχει $\lambda \in \mathbb{R}$

ώστε $BD=\lambda CD$

δηλαδή $c-a=\lambda (c-b)$

Αντικαθιστώντας στην τελευταία την (1) η γραμμική ανεξαρτησία των a,b

μας δίνει

$\frac{k(1-\lambda )}{|a|}=1,\frac{k(1-\lambda )}{|b|}=-\lambda$

Λύνοντας προκύπτει ότι $-\lambda =\frac{|a|}{|b|}$
δηλαδή το θεώρημα διχοτόμου

και $k=\frac{|a||b|}{|a|+|b|}$

Μιχάλης Τσουρακάκης · #5

exdx έγραψε: ↑
Πέμ Οκτ 10, 2019 11:26 am
H είναι διχοτόμος.
Να εκφράσετε το διάνυσμα $\vec{c}$ ως γραμμικό συνδυασμό των $\vec{a},\vec{b}$
bisvector.png

Τα διανύσματα $\vec{u} = | \vec{a} | \vec{b} , \vec{v} =| \vec{b} | \vec{a}$ έχουν ίσα μέτρα κι επομένως το διάνυσμα $\vec{u}+ \vec{v} = | \vec{a} | \vec{b} +| \vec{b} | \vec{a}$

είναι συγγραμμικό του $\vec{c}$ λόγω του κανόνα παραλ/μμου (που εδώ είναι ρόμβος)

Το $\vec{c}$ είναι γνωστό ότι γράφεται με μοναδικό τρόπο ως $\vec{c} = \lambda \vec{a} + \mu \vec{b}$ με $\lambda + \mu =1$

Έτσι $\vec{c} = \rho ( \vec{u}+ \vec{v} )$ απ όπου λόγω γραμμικής ανεξαρτησίας των $\vec{a} , \vec{b}$ παίρνουμε $\lambda = \rho | \vec{b} |$ και $\mu = \rho | \vec{a} |$

και με πρόσθεση, $\rho = \dfrac{1}{| \vec{a} |+| \vec{b} |}$ οπότε $\lambda = \dfrac{| \vec{b} | }{| \vec{a} |+| \vec{b} |} , \mu =\dfrac{| \vec{a} | }{| \vec{a} |+| \vec{b} |}$ και $\vec{c} = \dfrac{| \vec{b} | \vec{a} }{| \vec{a} |+| \vec{b} |} +\dfrac{| \vec{a} | \vec{b} }{| \vec{a} |+| \vec{b} |}$

διχοτόμος

διχοτόμος

Re: διχοτόμος

Re: διχοτόμος

Re: διχοτόμος

Re: διχοτόμος

Μέλη σε σύνδεση