Μέσο και κάθετη

Συντονιστής: Τηλέγραφος Κώστας

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 11710
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Μέσο και κάθετη

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Τρί Απρ 07, 2020 10:22 am

Μέσο  και  κάθετη.png
Μέσο και κάθετη.png (10.83 KiB) Προβλήθηκε 662 φορές
\bigstar Τα σημεία M , N , L , είναι τα μέσα των πλευρών του τριγώνου ABC και τα P , T

είναι τα μέσα των τμημάτων AM , CN αντίστοιχα . Έστω S η τομή των MN , PT .

α) Δείξτε ότι το σημείο S είναι το μέσο του τμήματος PT .

β) Βρείτε σχέση μεταξύ των b,c , ώστε να είναι : SL \perp BC .

Αν λύσετε την άσκηση με Ευκλείδεια Γεωμετρία , ακόμα καλύτερα !



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 9575
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Μέσο και κάθετη

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Τετ Απρ 08, 2020 11:57 am

KARKAR έγραψε:
Τρί Απρ 07, 2020 10:22 am
Μέσο και κάθετη.png\bigstar Τα σημεία M , N , L , είναι τα μέσα των πλευρών του τριγώνου ABC και τα P , T

είναι τα μέσα των τμημάτων AM , CN αντίστοιχα . Έστω S η τομή των MN , PT .

α) Δείξτε ότι το σημείο S είναι το μέσο του τμήματος PT .

β) Βρείτε σχέση μεταξύ των b,c , ώστε να είναι : SL \perp BC .

Αν λύσετε την άσκηση με Ευκλείδεια Γεωμετρία , ακόμα καλύτερα !
Με Ευκλείδεια.
Μέσο και κάθετη.png
Μέσο και κάθετη.png (11.85 KiB) Προβλήθηκε 583 φορές
α) Μενέλαος στο APT με διατέμνουσα \displaystyle \overline {MSN}: \displaystyle \frac{{PS}}{{ST}} \cdot \frac{{NT}}{{NA}} \cdot \frac{{AM}}{{AP}} = 1 \Leftrightarrow \frac{{PS}}{{ST}} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{1} = 1 \Leftrightarrow \boxed{PS=ST}

β) Αν P', T' είναι οι προβολές των P, T στην BC αντίστοιχα, τότε η SL είναι διάμεσος του τραπεζίου PTT'P' και

επειδή L είναι το μέσο της BC, θα είναι BP'=CT'. Άρα, \displaystyle \frac{{3BO}}{4} = \frac{{CO}}{4} \Leftrightarrow \boxed{c=-3b}


Άβαταρ μέλους
angvl
Δημοσιεύσεις: 152
Εγγραφή: Πέμ Μάιος 12, 2011 3:10 pm

Re: Μέσο και κάθετη

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από angvl » Τετ Απρ 08, 2020 1:13 pm

α)
\displaystyle M μέσο  AB \wedge N μέσο AC \displaystyle \Rightarrow MN=//\frac{BC}{2}  \Rightarrow MNCB τραπέζιο.

΄Εστω E το μέσο της MB.Τότε αφού T μέσο της NC άρα ET είναι η διάμεσος του τραπεζίου MNCB οπότε θα είναι παράλληλη στις βάσεις του.

Eπίσης \displaystyle EM =\frac{MB}{2} = \frac{AB}{4}  \wedge PM=\frac{AM}{2}=\frac{AB}{4}  \Rightarrow M μέσο PE.

'Aρα στο τρίγωνο \triangle PET έχουμε : M μέσο PE \wedge  MS//ET \Rightarrow S μέσο PT.
μέσο και κάθετη.png
μέσο και κάθετη.png (114.73 KiB) Προβλήθηκε 571 φορές
β)
Με αναλυτική. Απ το σχήμα του θεματοδότη έχουμε : \displaystyle M(\frac{b}{2},\frac{a}{2}) , N(\frac{c}{2},\frac{a}{2}) , P(\frac{b}{4},\frac{3a}{4}) ,

\displaystyle T(\frac{3c}{4},\frac{a}{4}})\displaystyle ,  L(\frac{b+c}{2},0) και αφού από το πρώτο ερώτημα S μέσο PT άρα \displaystyle S(\frac{b+3c}{8},\frac{a}{2}). Για να είναι \displaystyle SL\perp BC άρα SL//AO\equiv y'y

πρέπει η ευθεία SL να έχει εξίσωση \displaystyle x=k  ,  k\in R άρα πρέπει \displaystyle x_{S} = x_{L} συνεπώς :

\displaystyle \frac{b+3c}{8} = \frac{b+c}{2}  \Rightarrow c = -3b


Καλό Καλοκαίρι!
Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 7341
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Μέσο και κάθετη

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Τετ Απρ 08, 2020 2:13 pm

α) Ας είναι F το μέσο του AN , συνεπώς το N μέσο του FT και \boxed{PF// = \frac{{MN}}{2}}\,\,\,\left( 1 \right)

Άρα στο \vartriangle PFT η NS ως παράλληλη στην PE και διερχομένη από το μέσο N της FT θα διέρχεται κι από το μέσο της PT ,

δηλαδή το S είναι μέσο της PT.

Μέσο και κάθετη.png
Μέσο και κάθετη.png (16.47 KiB) Προβλήθηκε 555 φορές

β) Έστω τώρα E το σημείο τομής των MN\,\,\kappa \alpha \iota \,\,AO. Θέτω το SN = k και θα είναι:

\left\{ \begin{gathered} 
  PF = 2k \hfill \\ 
  MN = 4k \hfill \\  
\end{gathered}  \right.

Αν SL \bot BC θα είναι SL \bot MN και αφού το τετράπλευρο OLMN είναι ισοσκελές τραπέζιο

και το τετράπλευρο OLSE ορθογώνιο , θα είναι :

ME = k\,\,,ES = OL = 2k,\,BO = 2ME = 2k και άρα : \boxed{OC = 6k = 3OB}.

Με τα δεδομένα της αρχικής άσκησης με συντεταγμένες θα είναι : \boxed{c + 3b = 0}


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες