Δυσκολία και ομορφιά

#1

Δίδεται η εξίσωση : $\left( {{k^2} - 1} \right)x + 2ky - {k^2} - 2k - c = 0\,\,\,\,\left( E \right)$ , με

πραγματική παράμετρος και

πραγματική σταθερά .

α) Δείξετε ότι για κάθε τιμή της παραμέτρου

η εξίσωση $\left( E \right)$ παριστάνει ευθεία γραμμή .

β) Αν η σταθερά c = - 1

, να δείξετε ότι : όλες οι ευθείες που ορίζονται από την $\left( E \right)$ διέρχονται από το ίδιο σημείο .

γ) Αν $c \ne - 1$ , να βρείτε το γεωμετρικό τόπο εκείνων των σημείων που από το καθένα διέρχεται μόνο μια ευθεία η οποία επαληθεύει την $\left( E \right)$

Για 24 ώρες η άσκηση απευθύνεται σε όλους τους μαθητές . Η βαθμολογία:

$a \to 5\,\,\mu o\nu \,\,,\,\,\beta \to 10\,\,\mu o\nu \,\,,\,\,\gamma \to 10\,\,\mu o\nu$

Ειδικά το τρίτο ερώτημα είναι αυξημένης δυσκολίας . Αλλά και πολύ όμορφο .

throwaway123 · #2

α) Αρκεί $k^2-1\neq 0\wedge 2k\neq 0\Leftrightarrow k\in \mathbb{R}$
β)για k=1

και

το κοινό σημείο τους είναι το (x,y)=(1,1)

το οποίο επαληθεύει την αρχική για $k\in \mathbb{R}$
γ)Έστω M(x,y)

ένα σημείο του τόπου προφανώς επαληθεύει την αρχική άρα προκύπτει k^2(x-1)+k(2y-2)-x-c=0

όμως απαιτώ μοναδικό $k\in \mathbb{R}$ άρα D=0

και προκύπτει x^2+y^2+x(c-1)-2y-c+1=0

άρα πειράζοντας την λίγο καταλαβαίνουμε ότι ο τόπος είναι μια οικογένεια κύκλων με κέντρο το $O(\frac{-c+1}{2},1)$ και ακτίνα $r=\frac{\lvert c+1\rvert}{2}$

#3

4ptil έγραψε: Πέμ Νοέμ 19, 2020 10:31 pm α) Αρκεί $k^2-1\neq 0\wedge 2k\neq 0\Leftrightarrow k\in \mathbb{R}$
β)για και το κοινό σημείο τους είναι το το οποίο επαληθεύει την αρχική για $k\in \mathbb{R}$
γ)Έστω ένα σημείο του τόπου προφανώς επαληθεύει την αρχική άρα προκύπτει όμως απαιτώ μοναδικό $k\in \mathbb{R}$ άρα και προκύπτει άρα πειράζοντας την λίγο καταλαβαίνουμε ότι ο τόπος είναι μια οικογένεια κύκλων με κέντρο το $O(\frac{-c+1}{2},1)$ και ακτίνα $r=\frac{\lvert c+1\rvert}{2}$

Εύγε Νεαρέ

Δυσκολία και ομορφιά

Δυσκολία και ομορφιά

Re: Δυσκολία και ομορφιά

Re: Δυσκολία και ομορφιά

Μέλη σε σύνδεση