Σημεία σε τετράγωνο

Συντονιστής: Τηλέγραφος Κώστας

Άβαταρ μέλους
Al.Koutsouridis
Δημοσιεύσεις: 1324
Εγγραφή: Πέμ Ιαν 30, 2014 11:58 pm
Τοποθεσία: Αθήνα

Σημεία σε τετράγωνο

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Al.Koutsouridis » Σάβ Ιαν 09, 2021 2:55 pm

Τα σημεία K,L,M,N με συντεταγμένες (-2,3), (1,4), (3,2), (-1,-1) βρίσκονται στις πλευρές AB,BC,CD,DA αντίστοιχα ενός τετραγώνου ABCD. Να βρείτε το εμβαδόν του τετραγώνου.


Πηγή: Εισαγωγικές εξετάσεις Κρατικού Πανεπιστημίου Μόσχας, τμήμα Ασιατικών και Αφρικανικών σπουδών 2006.
τελευταία επεξεργασία από Al.Koutsouridis σε Κυρ Ιαν 17, 2021 7:12 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
rek2
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1930
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 12:13 am

Re: Σημεία σε τετράγωνο

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από rek2 » Σάβ Ιαν 16, 2021 12:32 pm

Al.Koutsouridis έγραψε:
Σάβ Ιαν 09, 2021 2:55 pm
Τα σημεία K,L,M,N με συντεταγμένες (-2,3), (1,4), (3,2), (-1,-1) βρίσκονται στις πλευρές AB,BC,CD,DA αντίστοιχα ενός τετραγώνου ABCD. Να βρείτε το εμβαδόν του τετραγώνου.
Οι επόμενες, ας είναι οι εξισώσεις των πλευρών του τετραγώνου:


e1:y-3=p(x+2),\,\,\,e2:y-4=-\dfrac{1}{p}(x-1),\,\,\,e3:y-2=p(x-3),\,\,\,e4:y+1=-\dfrac{1}{p}(x+1)

Επειδή οι απέναντι πλευρές του τετραγώνου ισαπέχουν έχουμε:

d(e1,e3)=d(e2,e4)\Leftrightarrow \dfrac{\left | 5p+1 \right |}{\sqrt{p^2+1}}=\dfrac{\left | \dfrac{2}{p}+5 \right |}{\sqrt{\dfrac{1}{p^2}+1}}

Προκύπτει p=-\dfrac{3}{10}, οπότε

E=\left ( \dfrac{\left | 5p+1 \right |}{\sqrt{p^2+1}} \right )^2=\dfrac{25}{109}

Αλλά, όπως παρατήρησε ο παντόπτης Αλέξανδρος τα αντίστοιχα σημεία δεν ανήκουν στις πλευρές του παραπάνω τετραγώνου, αλλά στις προεκτάσεις των.

Ελέγχουμε τις περιπτώσεις κατά τις οποίες για ένα ζεύγος παράλληλων πλευρών δεν ορίζεται ο συντελεστής διεύθυνσης και βρίσκουμε τις ΑΒ, CD να είναι κατακόρυφες και τις BC, DA οριζόντιες, με εμβαδόν 5^2=25


Άβαταρ μέλους
Al.Koutsouridis
Δημοσιεύσεις: 1324
Εγγραφή: Πέμ Ιαν 30, 2014 11:58 pm
Τοποθεσία: Αθήνα

Re: Σημεία σε τετράγωνο

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Al.Koutsouridis » Κυρ Ιαν 17, 2021 7:08 pm

Σαν δεύτερο ερώτημα να γίνει η κατασκευή γεωμετρικά (με κανόνα και διαβήτη) του τετραγώνου ABCD και στις δυο περιπτώσεις που τα σημεία K,L,M,N είναι σημεία των πλευρών του ή των προεκτάσεων. (Μόνο το σχήμα αρκεί μιας και δεν ήταν το ζητούμενο στην άσκηση.)


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες