Ώρα εφαπτομένης 101

KARKAR · #1

: Ώρα εφαπτομένης 101.png (11.15 KiB) Προβλήθηκε 463 φορές

Σε σημείο

της έλλειψης του σχήματος , φέρουμε εφαπτομένη . Υπολογίστε την ελάχιστη τιμή της $\tan\theta$ .

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Πέμ Απρ 22, 2021 6:57 pm
Σε σημείο της έλλειψης του σχήματος , φέρουμε εφαπτομένη . Υπολογίστε την ελάχιστη τιμή της $\tan\theta$ .

Η εφαπτομένη στο σημείο (x_0,y_0)

της έλλειψης $\displaystyle{\dfrac {x^2}{a^2}+\dfrac {y^2}{b^2} = 1}$ είναι η $\displaystyle{\dfrac {xx_0}{a^2}+\dfrac {yy_0}{b^2} = 1}$ , η οποία έχει κλίση $\displaystyle{-\dfrac {x_0b^2}{y_0a^2}}$ .

Από τον τύπο της γωνίας δύο ευθειών, είναι

$\tan \theta = \dfrac { \dfrac {y_0}{x_0} + \dfrac {x_0b^2}{y_0a^2}}{ 1- \dfrac {y_0}{x_0} \cdot \dfrac {x_0b^2}{y_0a^2}}= \dfrac { \dfrac {x_0^2b^2+y_0^2a^2}{x_0y_0a^2} }{ 1- \dfrac {b^2}{a^2}}=\dfrac { \dfrac {a^2b^2}{x_0y_0a^2} }{ \dfrac {a^2-b^2}{a^2}}= \dfrac {a^2b^2}{a^2-b^2} }{ \dfrac {1}{x_0y_0}}$

Οπότε αναγώμαστε στην εύρεση του μεγίστου του $\dfrac {x_0}{a} \cdot \dfrac {y_0}{b}$ το οποίο είναι βέβαια

$\le \dfrac {1}{2}\left ( \dfrac {x_0^2}{a^2}+\dfrac {y_0^2}{b^2}\right ) = \dfrac {1}{2}$ , και λοιπά.

nickchalkida · #3

Γεωμετρική κατασκευή: Βρίσκω το μέσον

της

,
και

είναι το σημείο τομής της έλλειψης με την εκ του κέντρου

. (2^ο τεταρτημόριο)

Επειδή είιναι $\displaystyle \tan \theta_1 = {GL \over SL}$ και $\displaystyle \tan \theta_2 = {LO \over SL}$ , και για κάθε σημείο της έλλειψης ισχύει $\displaystyle {GL \cdot LO \over SL^2} = {b^2 \over a^2}$
άρα θα είναι $\tan \theta_1 \cdot \tan \theta_2 = ct$ . Τότε λοιπόν

$\displaystyle{ \begin{aligned} \left( \tan( \theta_1 + \theta_2) \right)_{min} &= \left( { \tan \theta_1 + \tan \theta_2 \over 1 - \tan \theta_1 \tan \theta_2} \right)_{min} \cr &= \left( \tan \theta_1 + \tan \theta_2 \right)_{min} \end{aligned} }$

διότι $1 - \tan \theta_1 \tan \theta_2 = ct$ . Και πάλι επειδή $\tan \theta_1 \tan \theta_2 = ct$ συμπεραίνουμε ότι $\left( \tan \theta_1 + \tan \theta_2 \right)_{min}$ συμβαίνει όταν

$\displaystyle{ \tan \theta_1 = \tan \theta_2 = {b \over a} }$

Η ευθεία τότε

έχει την μορφή $\displaystyle y = -{b \over a}x$ , και επιλύοντας το σύστημα με την έλλειψη βρίσκω $\displaystyle S\left({a\sqrt{2}\over 2}, {b\sqrt{2}\over 2}\right)$ .

Ώρα εφαπτομένης 101

Ώρα εφαπτομένης 101

Re: Ώρα εφαπτομένης 101

Re: Ώρα εφαπτομένης 101

Μέλη σε σύνδεση