Κατασκευή Έλλειψης

[Λευτέρης Παπανικολάου]

Στη σελίδα 101 του σχολικού βιβλίου προσανατολισμού γράφει: ''Παίρνουμε ένα τμήμα ΚΛ μήκους 2α και ένα οποιοδήποτε σημείο του Σ. Με κέντρα τα Ε' και Ε και ακτίνες ρ' ίση με (ΚΣ) και ρ ίση με (ΛΣ), αντιστοίχως, γράφουμε δύο κύκλους, οι οποίοι τέμνονται στα σημεία Μ και Μ'.'' Δύο παρατηρήσεις:
Πρώτον, αν η μικρότερη από τις δύο ακτίνες έχει μήκος μικρότερο ή ίσο του α-γ, τότε οι κύκλοι ΔΕΝ τέμνονται. Από ό,τι διαπίστωσα, μια ικανή και αναγκαία συνθήκη για να συμβαίνει αυτό, είναι η μικρότερη από τις δύο ακτίνες να έχει μήκος μεγαλύτερο από α-γ. Δεύτερον, αν επιλέξουμε το σημείο Σ να είναι κάποιο από τα άκρα του τμήματος ΚΛ, τότε θα έχουμε ΜΟΝΟ έναν κύκλο και όχι δύο (τεμνόμενους). Είμαι σωστός; Να πω πάντως ότι το συγκεκριμένο βιβλίο είναι από τα πιο καλογραμμένα σχολικά βιβλία Μαθηματικών για το Λύκειο. Σημείωση: Mε 2α συμβολίζεται το σταθερό άθροισμα της έλλειψης και με 2γ η εστιακή της απόσταση. Παρατηρώ τώρα καθώς διδάσκω το μάθημα, ότι και στην υπερβολή συμβαίνει κάτι αντίστοιχο. Δηλαδή, αν το ρ (αναφέρομαι στα γραφόμενα στη σελίδα 114 του σχολικού βιβλίου) είναι μικρότερο ή ίσο της διαφοράς γ-α, τότε οι κύκλοι ΔΕΝ τέμνονται

[Mihalis_Lambrou]

...αν η μικρότερη από τις δύο ακτίνες έχει μήκος μικρότερο ή ίσο του α-γ, τότε οι κύκλοι ΔΕΝ τέμνονται. Από ό,τι διαπίστωσα, μια ικανή και αναγκαία συνθήκη για να συμβαίνει αυτό, είναι η μικρότερη από τις δύο ακτίνες να έχει μήκος μεγαλύτερο από α-γ.

Έχεις δίκιο αφού η τριγωνική ανισότητα απαιτεί ή αλλιώς ισοδύναμα που είναι ακριβώς αυτό που λες.

Όμως δεν χρειάζεται να τέμνονται οι κύκλοι για να σχηματιστεί πλήρως η έλλειψη. Στο Geogebra που επισυνάπτω κούνα το δεξιά και αριστερά. Όπως το κουνάς το διαγράφει την έλλειψη. Μόλις το γίνει μικρό, δηλαδή , το φτάνει στην ακραία του θέση (κόκκινο στο σχήμα) και μετά εξαφανίζεται. Στην θέση του με , η έλλειψη είναι σχεδιασμένη ολόκληρη.

Ωραία η παρατήρησή σου και είμαι βέβαιος ελάχιστοι παρατήρησαν ότι οι κύκλοι δεν τέμνονται.

[Λευτέρης Παπανικολάου]

...αν η μικρότερη από τις δύο ακτίνες έχει μήκος μικρότερο ή ίσο του α-γ, τότε οι κύκλοι ΔΕΝ τέμνονται. Από ό,τι διαπίστωσα, μια ικανή και αναγκαία συνθήκη για να συμβαίνει αυτό, είναι η μικρότερη από τις δύο ακτίνες να έχει μήκος μεγαλύτερο από α-γ.

Έχεις δίκιο αφού η τριγωνική ανισότητα απαιτεί ή αλλιώς ισοδύναμα που είναι ακριβώς αυτό που λες.

Όμως δεν χρειάζεται να τέμνονται οι κύκλοι για να σχηματιστεί πλήρως η έλλειψη. Στο Geogebra που επισυνάπτω κούνα το δεξιά και αριστερά. Όπως το κουνάς το διαγράφει την έλλειψη. Μόλις το γίνει μικρό, δηλαδή , το φτάνει στην ακραία του θέση (κόκκινο στο σχήμα) και μετά εξαφανίζεται. Στην θέση του με , η έλλειψη είναι σχεδιασμένη ολόκληρη.

Ωραία η παρατήρησή σου και είμαι βέβαιος ελάχιστοι παρατήρησαν ότι οι κύκλοι δεν τέμνονται.

Eυχαριστώ για την πραγματικά διαφωτιστική απάντηση! Όντως, όπως φαίνεται στο πολύ κατατοπιστικό αρχείο σας, μπορεί οι κύκλοι να εφάπτονται εσωτερικά και να παίρνουμε σημεία της έλλειψης. Συγκεκριμένα τα δύο ''οριακά'' σημεία που βρίσκονται στις προεκτάσεις του Ε'Ε. Να είστε καλά κύριε Λάμπρου!