Αποπροσανατολισμός

KARKAR · #1

: Αποπροσανατολισμός.png (61.23 KiB) Προβλήθηκε 1165 φορές

Σημείο

κινείται στο τόξο του κύκλου x^2+y^2=r^2

, που βρίσκεται στο πρώτο τεταρτημόριο .

Η

τέμνει τον

στο

, ενώ η

τον

, στο

. Δείξτε ότι : (WNQ)=(QST)

.

#2

KARKAR έγραψε: Τετ Μαρ 20, 2024 12:17 pm Αποπροσανατολισμός.pngΣημείο κινείται στο τόξο του κύκλου , που βρίσκεται στο πρώτο τεταρτημόριο .

Η τέμνει τον στο , ενώ η τον , στο . Δείξτε ότι : .

Εκτός φακέλου (με Ευκλείδεια).

: Αποπροσανατολισμός.png (17.3 KiB) Προβλήθηκε 1159 φορές

$\displaystyle \frac{{(WNQ)}}{{(WSQ)}} = \frac{{NQ}}{{QS}} = \frac{{NP}}{{PS}}$ ( PQ

διχοτόμος στο τρίγωνο NPS).

$\displaystyle \frac{{(QST)}}{{(WSQ)}} = \frac{{OT}}{{OW}} = \frac{{OT}}{{OS}} = \frac{{NP}}{{PS}}$

από τα όμοια τρίγωνα SOT, SPN).

Άρα, $\boxed{(WNQ)=(QST)}$

STOPJOHN · #3

KARKAR έγραψε: Τετ Μαρ 20, 2024 12:17 pm Αποπροσανατολισμός.pngΣημείο κινείται στο τόξο του κύκλου , που βρίσκεται στο πρώτο τεταρτημόριο .

Η τέμνει τον στο , ενώ η τον , στο . Δείξτε ότι : .

Εστω $\hat{NWQ}=\phi,\hat{OWS}=45=\hat{WSO},\hat{WST}=45+\phi =WQS,$

Οπότε τα τρίγωνα WQS,WST

είναι όμοια αρα $WQ.WS=QS.ST\Leftrightarrow QW.WN=QS.ST\Leftrightarrow WQ.WN.sin\phi =QS.ST.sin\phi \Leftrightarrow (QWN)=(QST)$

#4

KARKAR έγραψε: Τετ Μαρ 20, 2024 12:17 pm Αποπροσανατολισμός.pngΣημείο κινείται στο τόξο του κύκλου , που βρίσκεται στο πρώτο τεταρτημόριο .

Η τέμνει τον στο , ενώ η τον , στο . Δείξτε ότι : .

Ας είναι

το σημείο τομής των $PS\,\,\kappa \alpha \iota \,\,NE$ . Επειδή στο τετράπλευρο , PNOT

οι γωνίες στα $P\,\,\kappa \alpha \iota \,\,O$ είναι ορθές και στο τετράπλευρο

PNQZ

, τα

βλέπουν την απέναντι πλευρά

υπό ίσες γωνίες , τα τετράπλευρα είναι εγγράψιμα με άμεση συνέπεια : QZ//WE

.

: Αποπροσανατολισμός.png (23.45 KiB) Προβλήθηκε 1079 φορές

Έτσι $\left( {NWS} \right) = \left( {ZWS} \right)\,\,\left( 1 \right)$ . Αλλά το τετράπλευρο $\left( {WSTQ} \right)$ μετασχηματίζεται σε ισοδύναμο τρίγωνο $\left( {ZWS} \right)$ : $\left( {WSTQ} \right)$ = $\left( {ZWS} \right)$ $\left( 2 \right)$

Έτσι από τις $\left( 1 \right)\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\left( 2 \right)$ έχω: $\left( {NWQ} \right) + \left( {QWS} \right) = \left( {ZWS} \right) = \left( {WSTQ} \right) = \left( {QWS} \right) + \left( {QTS} \right)$ και άρα : $\boxed{\left( {NWQ} \right) = \left( {QTS} \right)}$ .

Μιχάλης Τσουρακάκης · #5

KARKAR έγραψε: Τετ Μαρ 20, 2024 12:17 pm Αποπροσανατολισμός.pngΣημείο κινείται στο τόξο του κύκλου , που βρίσκεται στο πρώτο τεταρτημόριο .

Η τέμνει τον στο , ενώ η τον , στο . Δείξτε ότι : .

$2(NWQ)=2(QTS) \Leftrightarrow OW.NQ=QS.TO$ άρα αρκεί να αποδείξουμε ότι $\dfrac{NQ}{QS}= \dfrac{OT}{OS}$

Θεωρούμε $QZ \bot NS$ με QZ =QS

.Επειδή $\angle QSE= \angle QSZ=45^0 \Rightarrow S,E,Z$ συνευθειακά

Ακόμη, $\angle QPS= \angle QZS=45^0$ άρα QPZS

εγγράψιμμο ,οπότε $SP \bot ZP \Rightarrow N,P,Z$ συνευθειακά

Είναι $\angle \phi = \angle \theta \Rightarrow \triangle NQZ \simeq \triangle OTS \Rightarrow \dfrac{NQ}{QZ}= \dfrac{OT}{OS} \Rightarrow \dfrac{NQ}{QS}= \dfrac{OT}{OS}$

: Αποπροσανατολισμός.png (22.18 KiB) Προβλήθηκε 1045 φορές

Αποπροσανατολισμός

Αποπροσανατολισμός

Re: Αποπροσανατολισμός

Re: Αποπροσανατολισμός

Re: Αποπροσανατολισμός

Re: Αποπροσανατολισμός

Μέλη σε σύνδεση