Υπερβολή σε πλάγια θέση

Ιάσων Κωνσταντόπουλος · #1

Στο επισυνημμένο σχήμα δίνεται μια γραφική παράσταση της καμπύλης $h\colon y=\frac{1}{x}$
Δίνεται ότι η καμπύλη αυτή είναι μια υπερβολή.
α) Παρατηρώντας τη γραφική παράσταση να αναγνωρίσετε τις ασύμπτωτες της

και να γράψετε τις εξισώσεις τους. Ποιοι είναι οι άξονες συμμετρίας της

?
β) Να υπολογίσετε τις συντεταγμένες των κορυφών $A^\prime,A$ της

και κατόπιν να υπολογίσετε την απόστασή τους

γ) Να υπολογίσετε τις συντεταγμένες των εστιών $E^\prime,E$ της

δ) Αν

είναι σημείο της

, να αποδείξετε ότι η εξίσωση της εφαπτομένης της

στο

είναι η

ε) Έστω

οποιοδήποτε σημείο του επιπέδου. Να αποδειχθεί ότι η

είναι όντως μια υπερβολή αποδεικνύοντας την ισοδυναμία
$M\in h\Leftrightarrow|ME-ME^\prime|=2a$

Edit: Κάθε λύση ευπρόσδεκτη, αλλά η άσκηση μπορεί να επιλυθεί αξιοποιώντας αποκλειστικά πληροφορίες και τεχνικές που αναφέρονται στην (ή μεχρι και την) παράγραφο "3.4 Η ΥΠΕΡΒΟΛΗ" του σχολικού βιβλίου.

Εικόνα

Tolaso J Kos · #2

Η υπερβολή $y=\frac{1}{x}$ παίρνει τη μορφή xy-1=0

. Το γινόμενο υποδηλώνει ότι η κωνική τομή μας έχει στραφεί κατά γωνία $\varphi$ για την οποία ισχύει $\tan 2 \varphi = \infty$ και κατά συνέπεια $\varphi = \frac{\pi}{4}$ . Άρα, η ισοσκελής υπερβολή μας έχει προκύψει από την $\mathcal{H}: \frac{x^2}{2}-\frac{y^2}{2}=1$ ύστερα από περιστροφή γωνίας $\omega = \frac{\pi}{4}$ . Πλέον, οι εστίες της θα βρίσκονται πάνω στην ευθεία y=x

.

Οι εστίες της $\mathcal{H}$ είναι οι $\mathrm{E}'(-2, 0)$ και $\mathrm{E}(2,0)$ . Συνεπώς, οι εστίες της υπερβολής μας (αφού στραφούν κατά γωνία $\omega= \frac{\pi}{4}$ ) είναι τα σημεία $\mathrm{A}' \left( -\sqrt{2}, -\sqrt{2} \right)$ , $\mathrm{A} \left( \sqrt{2}, \sqrt{2} \right)$ .

Όλα τα παραπάνω βρίσκονται σε βιβλία Αναλυτικής Γεωμετρίας στο κεφάλαιο των κωνικών τομών. Μπορεί βέβαια κάποιος να δει και εδώ μερικά πράγματα.

Ιάσων Κωνσταντόπουλος · #3

Tolaso J Kos έγραψε: ↑
Τετ Απρ 24, 2024 1:07 pm
Η υπερβολή $y=\frac{1}{x}$ παίρνει τη μορφή . Το γινόμενο υποδηλώνει ότι η κωνική τομή μας έχει στραφεί κατά γωνία $\varphi$ για την οποία ισχύει $\tan 2 \varphi = \infty$ και κατά συνέπεια $\varphi = \frac{\pi}{4}$ . Άρα, η ισοσκελής υπερβολή μας έχει προκύψει από την $\mathcal{H}: \frac{x^2}{2}-\frac{y^2}{2}=1$ ύστερα από περιστροφή γωνίας $\omega = \frac{\pi}{4}$ . Πλέον, οι εστίες της θα βρίσκονται πάνω στην ευθεία .

Οι εστίες της $\mathcal{H}$ είναι οι $\mathrm{E}'(-2, 0)$ και $\mathrm{E}(2,0)$ . Συνεπώς, οι εστίες της υπερβολής μας (αφού στραφούν κατά γωνία $\omega= \frac{\pi}{4}$ ) είναι τα σημεία $\mathrm{A}' \left( -\sqrt{2}, -\sqrt{2} \right)$ , $\mathrm{A} \left( \sqrt{2}, \sqrt{2} \right)$ .

Όλα τα παραπάνω βρίσκονται σε βιβλία Αναλυτικής Γεωμετρίας στο κεφάλαιο των κωνικών τομών. Μπορεί βέβαια κάποιος να δει και εδώ μερικά πράγματα.

Κατ' αρχάς, ένσταση σε ό,τι αφορά την αρτιότητα της απάντησης δεν υπάρχει.

Ωστόσο ας σημειωθεί ότι η άσκηση (όλα τα ερωτήματα της) μπορεί να επιλυθεί αξιοποιώντας αποκλειστικά θεωρήματα και τεχνικές που αναφέρονται στην παράγραφο "3.4 Η ΥΠΕΡΒΟΛΗ" του σχολικού βιβλίου των Μαθηματικών Προσανατολισμού της Β' Λυκείου.

Υπερβολή σε πλάγια θέση

Υπερβολή σε πλάγια θέση

Re: Υπερβολή σε πλάγια θέση

Re: Υπερβολή σε πλάγια θέση

Μέλη σε σύνδεση