Μετρική στην έλλειψη

Tolaso J Kos · #1

Δίδεται η έλλειψη $\displaystyle \frac{x^2}{\alpha^2}+\frac{y^2}{\beta^2}=1$ με εστίες $\mathrm{E}'$ και $\mathrm{E}$ . Αν $\mathrm{T}(x_0, y_0)$ τυχαίο σημείο της έλλειψης, να δειχθεί ότι $\displaystyle \left ( \mathrm{TE}' \right ) - \left ( \mathrm{TE} \right ) = \frac{2\gamma x_0}{\alpha}$ .

Μπορείτε να δώσετε λύση χωρίς το δεύτερο θεώρημα των διαμέσων;

#2

Δεν κάνουν οι επόμενοι τύποι, που προκύπτουν από τον ορισμό της έλλειψης με μία ύψωση στο τετράγωνο, για τον καθένα;

TE=(a^2-γx_0)/a TE'=(a^2γx_0)/a

(Δεν "παίζει" ο Editor...)

Ιάσων Κωνσταντόπουλος · #3

Πολλαπλασιάζοντας τη ζητούμενη ισοδύναμα κατα μέλη με
$\displaystyle \left ( \mathrm{TE}' \right ) + \left ( \mathrm{TE} \right ) = 2\alpha>0$

λαμβάνουμε

$\displaystyle \left ( \mathrm{TE}' \right )^2 - \left ( \mathrm{TE} \right )^2= 4\gamma x_o$

Εφαρμόζοντας τον τύπο της απόστασης για T(x_o,y_o)

, $E'(-\gamma,0)$ και $E(\gamma,0)$ καταλήγουμε σε κάτι που ισχύει $\blacksquare$

S.E.Louridas · #4

Tolaso J Kos έγραψε: Τετ Αύγ 21, 2024 9:28 am Δίδεται η έλλειψη $\displaystyle \frac{x^2}{\alpha^2}+\frac{y^2}{\beta^2}=1$ με εστίες $\mathrm{E}'$ και $\mathrm{E}$ . Αν $\mathrm{T}(x_0, y_0)$ τυχαίο σημείο της έλλειψης, να δειχθεί ότι $\displaystyle \left ( \mathrm{TE}' \right ) - \left ( \mathrm{TE} \right ) = \frac{2\gamma x_0}{\alpha}$ .
Μπορείτε να δώσετε λύση χωρίς το δεύτερο θεώρημα των διαμέσων;

Προσωπικά θα το δίδασκα, στο αποδεικτικό πνεύμα του Ιάσσονα, ως εξής (με κάποιες επιφυλάξεις επειδή έχω
κάποιο καιρό να διδάξω στην B’ Λυκείου):

Ας θεωρήσουμε $TE' \geqslant TE,$ οπότε παίρνουμε ${x_0} \geqslant 0$ και βέβαια $\displaystyle{a \geqslant \frac{{\gamma {x_0}}}{a}.}$

Έχουμε TE' + TE = 2a.

Άρα (αντικατάσταση του TE'

) θέλουμε τελικά να ισχύει $\displaystyle{2TE = 2a - \frac{{2\gamma {x_0}}}{a},}$

αν δε λάβουμε υπόψη ότι ${\gamma ^2} = {a^2} - {b^2},$ αρκεί μετά από κάποιες πράξεις (ύψωση στο τετράγωνο κτλ. με $TE = \sqrt {{{\left( {{x_0} - \gamma } \right)}^2} + y_0^2}$ )

να αποδείξουμε ότι ισχύει: $\displaystyle{\frac{{x_0^2}}{{{a^2}}} + \frac{{y_0^2}}{{{b^2}}} = 1,}$ που ισχύει. Όμοια αν θεωρήσουμε: TE' <TE.

Μετρική στην έλλειψη

Μετρική στην έλλειψη

Re: Μετρική στην έλλειψη

Re: Μετρική στην έλλειψη

Re: Μετρική στην έλλειψη

Μέλη σε σύνδεση