Όχι εσωτερικό γινόμενο

Ιάσων Κωνσταντόπουλος · #1

Δίνεται επίπεδο στο οποίο έχει οριστεί ένα ορθοκανονικό σύστημα συντεταγμένων $(O,\overrightarrow{i},\overrightarrow{j})$ και δυο μη μηδενικά διανύσματα αυτού $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}$ . Συμβολίζουμε επίσης με $\theta$ τη γωνία που διαγράφει το διάνυσμα $\overrightarrow{a}$ περιστρεφόμενο κατά τη θετική φορά μέχρι να γίνει ομόρροπο με το $\overrightarrow{b}$ .

Να αποδειχθούν τα ακόλουθα:

#1.
$\left|\det(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b})}\right| = |\overrightarrow{a}|\cdot|\overrightarrow{b}|\cdot\eta\mu\hat{(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b})}$

#2. $\det(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b})=|\overrightarrow{a}|\cdot|\overrightarrow{b}|\cdot \eta\mu\theta$

ΣΗΜΕΙΩΣΗ
Λίγη προσοχή κατά τη λύση να μη βγούμε "εκτός ύλης".

Tolaso J Kos · #2

Το παρακάτω θαρρώ απαντάει !!!

Ιάσων Κωνσταντόπουλος · #3

Tolaso J Kos έγραψε: ↑
Τρί Δεκ 03, 2024 9:35 pm
Το παρακάτω θαρρώ απαντάει !!!

Για το πρώτο ερώτημα ναι!

abgd · #4

Ιάσων Κωνσταντόπουλος έγραψε: ↑
Τρί Δεκ 03, 2024 9:18 pm
Δίνεται επίπεδο στο οποίο έχει οριστεί ένα ορθοκανονικό σύστημα συντεταγμένων $(O,\overrightarrow{i},\overrightarrow{j})$ και δυο μη μηδενικά διανύσματα αυτού $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}$ . Συμβολίζουμε επίσης με $\theta$ τη γωνία που διαγράφει το διάνυσμα $\overrightarrow{a}$ περιστρεφόμενο κατά τη θετική φορά μέχρι να γίνει ομόρροπο με το $\overrightarrow{b}$ .

Να αποδειχθούν τα ακόλουθα:

#1.
$\left|\det(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b})}\right| = |\overrightarrow{a}|\cdot|\overrightarrow{b}|\cdot\eta\mu\hat{(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b})}$

#2. $\det(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b})=|\overrightarrow{a}|\cdot|\overrightarrow{b}|\cdot \eta\mu\theta$

ΣΗΜΕΙΩΣΗ
Λίγη προσοχή κατά τη λύση να μη βγούμε "εκτός ύλης".

Μια λύση "εκτός ύλης" , αφού χρησιμοποιεί το ημίτονο της διαφοράς δύο γωνιών....

Αν
$\displaystyle{\overrightarrow{a}=(x_1,y_1),\ \ \overrightarrow{b}=(x_2,y_2), \ \ \ \ \hat{\left(\overrightarrow{a},x'x\right)}=a, \ \ \ \hat{\left(\overrightarrow{b},x'x\right)}=b}$
τότε
$\displaystyle{\boxed{ b\geq a \Leftrightarrow \theta=b-a}}$ ή $\displaystyle{ \boxed{b<a \Leftrightarrow \theta=2\pi+b-a}}$
Σε κάθε περίπτωση
$\displaystyle{ sin{\theta}=sin(b-a)=sinbcosa-sinacosb=\frac{y_2}{\left|\overrightarrow{b}\right|}\cdot \frac{x_1}{\left|\overrightarrow{a}\right|}-\frac{y_1}{\left|\overrightarrow{b}\right|}\cdot \frac{x_2}{\left|\overrightarrow{a}\right|}=\frac{det\left(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\right)}{\left|\overrightarrow{a}\right|\left|\overrightarrow{b}\right|}$

και έτσι έχουμε δείξει τη δεύτερη ισότητα.

Για την πρώτη ισότητα αρκεί να παρατηρήσουμε ότι $\displaystyle{\theta=\hat{\left(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\right)}$ , ή $\displaystyle{\theta=2\pi-\hat{\left(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\right)}$ και να κάνουμε χρήση της δεύτερης ισότητας.

Βέβαια η πρώτη ισότητα δικαιολογείται εύκολα γεωμετρικά, από το εμβαδόν του παραλληλογράμμου που σχηματίζουν τα διανύσματα.

Ιάσων Κωνσταντόπουλος · #5

abgd έγραψε: ↑
Σάβ Δεκ 07, 2024 12:41 am

Μια λύση "εκτός ύλης" , αφού χρησιμοποιεί το ημίτονο της διαφοράς δύο γωνιών....

Είναι συζητήσιμο, μπορεί κανείς να διαφωνήσει,
αλλά αυτή η απάντηση μπορεί να θεωρηθεί ότι είναι "εντός ύλης" λαμβάνοντας υπ' όψιν:

#1. την τρίτη εφαρμογή της υποπαραγράφου
Συνημίτονο Γωνίας δύο Διανυσμάτων
στην παράγραφο 1.5 του σχολικού βιβλίου
http://ebooks.edu.gr/ebooks/v/html/8547 ... ex1_5.html
που πραγματεύεται το συνημίτονο της διαφοράς δυο γωνιών

(στον ορισμό της εξεταστέας ύλης ΦΕΚ Τεύχος B’ 4545/05.08.2024 σελίδα 46084 η εν λόγω εφαρμογή ΔΕΝ εξαιρείται)

#2. ότι σε αυτό το σημείο της ύλης μπορεί να θεωρηθεί ότι οι μαθητές γνωρίζουν τους τύπους αναγωγής στο πρώτο τεταρτημόριο

Αξιοποιώντας αυτά μπορεί κανείς ξεκινώντας από το πρώτο μέλος της ζητούμενης να φτάσει στο δεύτερο μέλος της αποδεικνύοντας ταυτόχρονα τον τύπο του ημιτόνου της διαφοράς γωνιών.

Όχι εσωτερικό γινόμενο

Όχι εσωτερικό γινόμενο

Re: Όχι εσωτερικό γινόμενο

Re: Όχι εσωτερικό γινόμενο

Re: Όχι εσωτερικό γινόμενο

Re: Όχι εσωτερικό γινόμενο

Μέλη σε σύνδεση