Ισοχορδία

KARKAR · #1

: Ισοχορδία.png (20.82 KiB) Προβλήθηκε 1711 φορές

Βρείτε την εξίσωση της ευθείας , η οποία διέρχεται από το σημείο S(5,0)

και σχηματίζει με τους δύο δοθέντες κύκλους , ίσες χορδές .

ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ · #2

Είμαι στο σχολείο, δεν μπορώ να γράψω πολλά, δίνω την απάντηση σε hide.
Όταν βρω χρόνο θα γράψω τη λύση.
Φυσικά όποιος θέλει μπορεί να δημοσιεύσει λύση πριν το κάνω εγώ.

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

#3

KARKAR έγραψε: Παρ Μαρ 28, 2025 9:25 am Ισοχορδία.pngΒρείτε την εξίσωση της ευθείας , η οποία διέρχεται από το σημείο και σχηματίζει με τους δύο δοθέντες κύκλους , ίσες χορδές .

Από το

φέρνω τις εφαπτόμενες, $SJ\,\,\kappa \alpha \iota \,\,SG$ στους κύκλους $O\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,K$ . Ας είναι δε $OM\,\,\kappa \alpha \iota \,\,KN$ τα αποστήματα προς τις $AB\,\,\kappa \alpha \iota \,\,CD$ .

Θέτω 2a = AB = CD

, $SC = x\,\,\kappa \alpha \iota \,\,SB = y$ . Από τη δύναμη του

προς τους 2 κύκλους έχω:

$\left\{ \begin{gathered} S{J^2} = SB \cdot SA \hfill \\ S{G^2} = SC \cdot SD \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} 25 - 10 = y\left( {y + 2a} \right)\,\,\,\left( 1 \right) \hfill \\ 100 - 25 = x\left( {x + 2a} \right)\,\,\,\left( 2 \right) \hfill \\ \end{gathered} \right.$ .

: Ισοχορδία.png (24.5 KiB) Προβλήθηκε 1671 φορές

Από την ομοιότητα των $\vartriangle OMS\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\vartriangle KNS$ έχω : $\dfrac{{x + a}}{{y + a}} = 2\,\,\,\left( 3 \right)$ . Το σύστημα των $\left( 1 \right)\,\,,\,\,\left( 2 \right)\,\,,\,\,\left( 3 \right)$ δίδει μια μόνο δεκτή τριάδα τιμών.

$x = 3\sqrt 5 \,\,\,,\,\,y = a = \sqrt 5$ οπότε , $\tan \theta = \dfrac{{KN}}{{SN}} = \dfrac{{2\sqrt 5 }}{{4\sqrt 5 }} = \dfrac{1}{2}$ . Δηλαδή η κλίση της ευθείας που θέλω είναι $\lambda = \dfrac{1}{2}$ ή συμμετρικά , $\lambda = - \dfrac{1}{2}$

Αφού $S\left( {5,0} \right)$ έχω : $\boxed{y = \pm \dfrac{1}{2}\left( {x - 5} \right)}$

#4

KARKAR έγραψε: Παρ Μαρ 28, 2025 9:25 am Ισοχορδία.pngΒρείτε την εξίσωση της ευθείας , η οποία διέρχεται από το σημείο και σχηματίζει με τους δύο δοθέντες κύκλους , ίσες χορδές .

H εξίσωση της ζητούμενης ευθείας είναι $\lambda x-y-5\lambda =0$ και οι αποστάσεις των O, K

από αυτήν

είναι $\displaystyle {d_1} = \frac{{5|\lambda |}}{{\sqrt {{\lambda ^2} + 1} }},{d_2} = \frac{{10|\lambda |}}{{\sqrt {{\lambda ^2} + 1} }}$ αντίστοιχα. Λόγω της ισότητας των χορδών θα είναι:

: Ισοχορδία.Κ.png (24.57 KiB) Προβλήθηκε 1618 φορές

$\displaystyle 10 - {d_1}^2 = 25 - {d_2}^2 \Leftrightarrow \frac{{75{\lambda ^2}}}{{{\lambda ^2} + 1}} = 15 \Leftrightarrow \lambda = \pm \frac{1}{2},$ απ' όπου $\boxed{x-2y-5=0}$ ή $\boxed{x+2y-5=0}$

ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ · #5

Γιώργο, η λύση που έγραψες είναι ό,τι ακριβώς σκέφτηκα στο σχολείο την Παρασκευή.
Μόλις είδα το θέμα το έλυσα σε λίγα λεπτά.
Είχα σκοπό να γράψω σήμερα τη λύση μου αλλά με πρόλαβες.
Δεν πειράζει, καλά έκανες...
Πρόκειται για ωραίο θέμα...

Ισοχορδία

Ισοχορδία

Re: Ισοχορδία

Re: Ισοχορδία

Re: Ισοχορδία

Re: Ισοχορδία

Μέλη σε σύνδεση