Αναλυτική ή Ευκλείδεια;

#1

Δίδεται η ευθεία $\left( \varepsilon \right)$ με εξίσωση , y = x + 2

και το σημείο $A\left( {3,2} \right)$ .

Να εντοπιστεί σημείο

του οριζοντίου άξονα , που να ισαπέχει από την ευθεία $\left( \varepsilon \right)$ κι από το

.

Μπορείτε να λύσετε το πρόβλημα με Ευκλείδεια Γεωμετρία ;

Γιώργος Μήτσιος · #2

Καλημέρα!
Μια προσπάθεια με ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ, που -εικάζω βάσιμα- είναι επιθυμία και του Νίκου!

: Ευκλείδεια προς τέρψιν του Ν.Φ !.png (780.59 KiB) Προβλήθηκε 1912 φορές

Θεωρώ το ορθ. τρίγωνο BAF

με κάθετες BF=5

και

.

Στο σχήμα η

είναι ο οριζόντιος άξονας , ενώ η

έχει εξίσωση y=x+2

Τα

διαιρούν το

σε λόγο $\dfrac{KB}{KA}=\dfrac{LB}{LA}=\sqrt{2}$

O κύκλος διαμέτρου

(Απολλώνιος!), τέμνει την (οριζόντια)

στα ζητούμενα S,T

,
δηλ καθένα απ' αυτά απέχει από την

όσο και από το

Προφανώς λείπει η απόδειξη.. Οφείλω να επανέλθω..(*)

(*) Υ.Γ Ας προσθέσω σύντομη αιτιολόγηση :

Αν

ζητούμενο σημείο και

η προβολή του στην y=x+2

, ενώ

η τομή αυτής με τον οριζόντιο άξονα

τότε το τρίγωνο BES

είναι ορθογώνιο και ισοσκελές. Προκύπτει $\dfrac{SB}{SA}=\dfrac{SB}{SE}=\sqrt{2}$ , δηλ το

ανήκει στον ως άνω Απολλώνιο κύκλο..

Φιλικά, Γιώργος.

#3

Με Αναλυτική που είναι απλό. Έστω S(x,0).

Τότε:

$\displaystyle d(S,\varepsilon ) = SA \Leftrightarrow \frac{{|x + 2{|^2}}}{2} = {(x - 3)^2} + 4 \Leftrightarrow$ $\boxed{x = 8 \pm \sqrt {42} }$

Ομοίως με Ευκλείδεια, χωρίς τον τύπο της απόστασης.

: Αναλυτική ή Ευκλείδεια.png (10.63 KiB) Προβλήθηκε 1887 φορές

Από το ορθογώνιο και ισοσκελές TCS

είναι $TS=\dfrac{(x+2)\sqrt 2}{2}$ και με Π.Θ στο BAS,

παίρνω

κλπ.

Εξακολουθώ να ψάχνω Ευκλείδεια λύση χωρίς υπολογισμούς, διαφορετική από του Γιώργου

KARKAR · #4

: ισαπέχει.png (9.95 KiB) Προβλήθηκε 1867 φορές

Βρείτε σημείο

του

, το οποίο να ισαπέχει από το σημείο

και την πράσινη ευθεία . ( Για να αποφύγουμε την

-άρα γωνία . )

konargyr14 · #5

Για την γενική περίπτωση (με Ευκλείδεια), αναζητάμε τα σημεία που ανήκουν σε δοσμένη ευθεία και ισαπέχουν από άλλη δοσμένη ευθεία και ένα δοσμένο σημείο. Θα προσδιορίσουμε τους κύκλους των οποίων το κέντρο ανήκει στην ευθεία $\zeta$ και οι οποίοι εφάπτονται της ευθείας $\varepsilon$ και περνούν από το σημείο

, αφού τότε τα κέντρα τους θα είναι τα ζητούμενα σημεία.

Θεωρούμε την συμμετρική ευθεία $\delta$ της $\varepsilon$ προς την ευθεία $\zeta$ . Αρκεί να προσδιορίσουμε τους κύκλους που εφάπτονται στις ευθείες $\varepsilon, \delta$ και περνούν από το σημείο

, αφού τότε τα κέντρα τους θα ανήκουν στην $\zeta$ .

Γράφουμε τον κύκλο $\omega = (A,AO)$ και εφαρμόζουμε την αντιστροφή με πόλο το σημείο

και δύναμη AO^2

στις ευθείες $\varepsilon, \delta$ . Έστω $\varepsilon', \delta'$ αντίστοιχα οι εικόνες τους μετά τον μετασχηματισμό. Τότε επειδή το σημείο

δεν ανήκει στις ευθείες $\varepsilon, \delta$ , οι $\varepsilon', \delta'$ θα είναι κύκλοι οι οποίοι περνούν από το

.

Φέρνουμε τις κοινές εφαπτομένες των δύο κύκλων $\varepsilon', \delta'$ και τους εφαρμόζουμε την αρχική αντιστροφή με πόλο το

και δύναμη AO^2

. Οι εικόνες των δύο εφαπτομένων (κόκκινοι κύκλοι στο σχήμα) θα εφάπτονται στις ευθείες $\varepsilon, \delta$ και θα περνούν από τον πόλο της αντιστροφής, δηλαδή το σημείο

. Έτσι, τα κέντρα τους S,T

αντίστοιχα θα ισαπέχουν από την ευθεία $\varepsilon$ και το σημείο

και θα ανήκουν στην ευθεία $\zeta$ , οπότε είναι τα ζητούμενα.

Κωνσταντίνος

: 1.PNG (92.72 KiB) Προβλήθηκε 1851 φορές

#6

Αποσύρω προσωρινά αυτό που έγραψα πριν από λίγο γιατί έχει μία ανακρίβεια και δεν προλαβαίνω τώρα να το διορθώσω (υποχρεώσεις).

Θα επανέλθω.

Fragkos · #7

konargyr14 έγραψε: ↑
Τρί Ιούλ 22, 2025 1:54 pm
Για την γενική περίπτωση (με Ευκλείδεια), αναζητάμε τα σημεία που ανήκουν σε δοσμένη ευθεία και ισαπέχουν από άλλη δοσμένη ευθεία και ένα δοσμένο σημείο. Θα προσδιορίσουμε τους κύκλους των οποίων το κέντρο ανήκει στην ευθεία $\zeta$ και οι οποίοι εφάπτονται της ευθείας $\varepsilon$ και περνούν από το σημείο , αφού τότε τα κέντρα τους θα είναι τα ζητούμενα σημεία.

Θεωρούμε την συμμετρική ευθεία $\delta$ της $\varepsilon$ προς την ευθεία $\zeta$ . Αρκεί να προσδιορίσουμε τους κύκλους που εφάπτονται στις ευθείες $\varepsilon, \delta$ και περνούν από το σημείο , αφού τότε τα κέντρα τους θα ανήκουν στην $\zeta$ .

Γράφουμε τον κύκλο $\omega = (A,AO)$ και εφαρμόζουμε την αντιστροφή προς τον κύκλο αυτό. Έστω $\varepsilon', \delta'$ οι εικόνες των ευθειών $\varepsilon, \delta$ αντίστοιχα μετά τον μετασχηματισμό. Τότε επειδή το σημείο δεν ανήκει στιε ευθείες $\varepsilon, \delta$ , οι εικόνες τους θα είναι κύκλοι οι οποίοι περνούν από το .

Φέρνουμε τις κοινές εφαπτομένες των δύο κύκλων $\varepsilon', \delta'$ και εφαρμόζουμε ξανά την αντιστροφή προς τον $\omega$ . Οι εικόνες των δύο εφαπτομένων (κόκκινοι κύκλοι στο σχήμα) θα εφάπτονται των εικόνων των κύκλων $\varepsilon', \delta'$ , δηλαδή θα εφάπτονται στις ευθείες $\varepsilon, \delta$ και θα περνούν από το κέντρο της αντιστροφής, δηλαδή το σημείο . Έτσι, τα κέντρα τους αντίστοιχα θα ισαπέχουν από την ευθεία $\varepsilon$ και το σημείο και θα ανήκουν στην ευθεία $\zeta$ , οπότε είναι τα ζητούμενα.

Κωνσταντίνος

1.PNG

Κωνσταντίνε Καλησπέρα .

Βλέπω μια προσπάθεια με ισχυρά εργαλεία αλλά με παρουσίαση που με μπέρδεψε .

Σε κάθε αντιστροφή πρέπει ξεκάθαρα να λέμε τον πόλο αντιστροφής ( η έκφραση « κέντρο» μάλλον πρέπει να αποφεύγεται )

Και τη δύναμη αντιστροφής . Όπως δηλαδή ο ορισμός στην Ελληνική βιβλιογραφία .

Πρέπει με βάσει τα πιο πάνω, να μας πείτε ποια γραμμή αντιστρέφετε.

Ο κύκλος $\left( {O,OA} \right)$ υποθέτω ότι είναι ο κύκλος αντιστροφής , όμως θέλουμε ξεκάθαρα να δηλωθεί σε κάθε περίπτωση , ο Πόλος αντιστροφής αφού ως δύναμη, σε αυτή την περίπτωση είναι, η ακτίνα του κύκλου αντιστροφής.

Τα πράγματα είναι πολύ απλούστερα αφού με τη δήλωσή σας για συμμετρική ευθεία έχετε να γράψετε κύκλο

Που εφάπτεται σε δύο, σταθερές ευθείες και διέρχεται από δεδομένο σημείο .

konargyr14 · #8

Fragkos έγραψε: ↑
Τρί Ιούλ 22, 2025 9:19 pm

Σε κάθε αντιστροφή πρέπει ξεκάθαρα να λέμε τον πόλο αντιστροφής ( η έκφραση « κέντρο» μάλλον πρέπει να αποφεύγεται )

Και τη δύναμη αντιστροφής . Όπως δηλαδή ο ορισμός στην Ελληνική βιβλιογραφία .

Πρέπει με βάσει τα πιο πάνω, να μας πείτε ποια γραμμή αντιστρέφετε.

Ο κύκλος $\left( {O,OA} \right)$ υποθέτω ότι είναι ο κύκλος αντιστροφής , όμως θέλουμε ξεκάθαρα να δηλωθεί σε κάθε περίπτωση , ο Πόλος αντιστροφής αφού ως δύναμη, σε αυτή την περίπτωση είναι, η ακτίνα του κύκλου αντιστροφής.

Ευχαριστώ για την επισήμανση. Ελπίζω τώρα η διαδικασία της κατασκευής να είναι κατανοητή.

KARKAR · #9

Νομίζω ότι πλέον επιτρέπεται η παραπομπή : Δείτε λοιπόν και αυτή . Ιουλιανή , μόλις

χρόνια πριν ...

KARKAR · #10

: Τελική.png (32.65 KiB) Προβλήθηκε 1701 φορές

Συνοψίζοντας προτείνεται η παρακάτω λύση : Από το

φέρω κάθετη

προς την

, η οποία τέμνει

την

στο

. Ο κύκλος (K , KB)

τέμνει την

στα σημεία T , S

. Η παράλληλη από το

προς την

μας δίνει το σημείο

, ενώ η παράλληλη από το

προς την

μας δίνει το

.

Η κατασκευή ολοκληρώνεται φέροντας τα κάθετα τμήματα PL , QN

προς την

.

#11

Ευχαριστώ πολύ όλους για την ανταπόκριση στην «αντιπαράθεση»

Τελικά όλες οι λύσεις είναι σωστές κι ωραίες . Αν προκύψουν κι άλλες πολύ καλοδεχούμενες.

Θα γράψω με παράθεση κάποια σχόλια στις λύσεις των $Kon\arg yr14\,\,\kappa \alpha \iota \,\,Axlmon$

καθώς και των Γιώργου Μήτσιου και Θανάση .

#12

Γιώργος Μήτσιος έγραψε: ↑
Τρί Ιούλ 22, 2025 1:44 am
Καλημέρα!
Μια προσπάθεια με ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ, που -εικάζω βάσιμα- είναι επιθυμία και του Νίκου!
Ευκλείδεια προς τέρψιν του Ν.Φ !.png

Θεωρώ το ορθ. τρίγωνο με κάθετες και .

Στο σχήμα η είναι ο οριζόντιος άξονας , ενώ η έχει εξίσωση

Τα διαιρούν το σε λόγο $\dfrac{KB}{KA}=\dfrac{LB}{LA}=\sqrt{2}$

O κύκλος διαμέτρου (Απολλώνιος!), τέμνει την (οριζόντια) στα ζητούμενα ,
δηλ καθένα απ' αυτά απέχει από την όσο και από το

Προφανώς λείπει η απόδειξη.. Οφείλω να επανέλθω..
Ίσως όμως κάποιος φίλος να μας προσφέρει στο μεταξύ την απόδειξη της ως άνω κατασκευής..
Φιλικά, Γιώργος.

Γιώργο σ ευχαριστώ για τη λύση . Με ιδιαίτερη χαρά σε βλέπω μετά από πολύ καιρό στο

Να μην χανόμαστε!

#13

KARKAR έγραψε: ↑
Τετ Ιούλ 23, 2025 4:23 pm
Τελική.pngΣυνοψίζοντας προτείνεται η παρακάτω λύση : Από το φέρω κάθετη προς την , η οποία τέμνει

την στο . Ο κύκλος τέμνει την στα σημεία . Η παράλληλη από το

προς την μας δίνει το σημείο , ενώ η παράλληλη από το προς την μας δίνει το .

Η κατασκευή ολοκληρώνεται φέροντας τα κάθετα τμήματα προς την .

Θανάση πολύ ωραία λύση με «αγνά» υλικά !

#14

konargyr14 έγραψε: ↑
Τρί Ιούλ 22, 2025 1:54 pm
Για την γενική περίπτωση (με Ευκλείδεια), αναζητάμε τα σημεία που ανήκουν σε δοσμένη ευθεία και ισαπέχουν από άλλη δοσμένη ευθεία και ένα δοσμένο σημείο. Θα προσδιορίσουμε τους κύκλους των οποίων το κέντρο ανήκει στην ευθεία $\zeta$ και οι οποίοι εφάπτονται της ευθείας $\varepsilon$ και περνούν από το σημείο , αφού τότε τα κέντρα τους θα είναι τα ζητούμενα σημεία.

Θεωρούμε την συμμετρική ευθεία $\delta$ της $\varepsilon$ προς την ευθεία $\zeta$ . Αρκεί να προσδιορίσουμε τους κύκλους που εφάπτονται στις ευθείες $\varepsilon, \delta$ και περνούν από το σημείο , αφού τότε τα κέντρα τους θα ανήκουν στην $\zeta$ .

Γράφουμε τον κύκλο $\omega = (A,AO)$ και εφαρμόζουμε την αντιστροφή με πόλο το σημείο και δύναμη στις ευθείες $\varepsilon, \delta$ . Έστω $\varepsilon', \delta'$ αντίστοιχα οι εικόνες τους μετά τον μετασχηματισμό. Τότε επειδή το σημείο δεν ανήκει στις ευθείες $\varepsilon, \delta$ , οι $\varepsilon', \delta'$ θα είναι κύκλοι οι οποίοι περνούν από το .

Φέρνουμε τις κοινές εφαπτομένες των δύο κύκλων $\varepsilon', \delta'$ και τους εφαρμόζουμε την αρχική αντιστροφή με πόλο το και δύναμη . Οι εικόνες των δύο εφαπτομένων (κόκκινοι κύκλοι στο σχήμα) θα εφάπτονται στις ευθείες $\varepsilon, \delta$ και θα περνούν από τον πόλο της αντιστροφής, δηλαδή το σημείο . Έτσι, τα κέντρα τους αντίστοιχα θα ισαπέχουν από την ευθεία $\varepsilon$ και το σημείο και θα ανήκουν στην ευθεία $\zeta$ , οπότε είναι τα ζητούμενα.

Κωνσταντίνος

1.PNG

Στην πολύ ωραία λύση σας ,

,βάζω το σχήμα σε τρεις φάσεις .

: Αναλυτική ή Ευκλείδεια_Konargyr14_a.png (26.5 KiB) Προβλήθηκε 1657 φορές

: Αναλυτική ή Ευκλείδεια_Konargyr14_b.png (52.21 KiB) Προβλήθηκε 1657 φορές

: Αναλυτική ή Ευκλείδεια_Konargyr14_c.png (61.8 KiB) Προβλήθηκε 1657 φορές

Αναλυτική ή Ευκλείδεια;

Αναλυτική ή Ευκλείδεια;

Re: Αναλυτική ή Ευκλείδεια;

Re: Αναλυτική ή Ευκλείδεια;

Re: Αναλυτική ή Ευκλείδεια;

Re: Αναλυτική ή Ευκλείδεια;

Re: Αναλυτική ή Ευκλείδεια;

Re: Αναλυτική ή Ευκλείδεια;

Re: Αναλυτική ή Ευκλείδεια;

Re: Αναλυτική ή Ευκλείδεια;

Re: Αναλυτική ή Ευκλείδεια;

Re: Αναλυτική ή Ευκλείδεια;

Re: Αναλυτική ή Ευκλείδεια;

Re: Αναλυτική ή Ευκλείδεια;

Re: Αναλυτική ή Ευκλείδεια;

Μέλη σε σύνδεση