Ισοπαλία

KARKAR · #1

: Ισοπαλία.png (11.74 KiB) Προβλήθηκε 272 φορές

Η χορδή

είναι παράλληλη προς την διάμετρο AB=10

του ημικυκλίου . Θεωρούμε σημείο

του τόξου $\overset{\frown}{CD}$ , τέτοιο ώστε :

\widehat{DCS}=45^0

. Εντοπίστε σημείο

του

\overset{\frown}{DB}

, τέτοιο ώστε τα τρίγωνα

SCP , SDP

να είναι ισεμβαδικά και υπολογίστε το εμβαδόν του καθενός .

#2

KARKAR έγραψε: Πέμ Ιουν 11, 2026 10:21 am Ισοπαλία.pngΗ χορδή είναι παράλληλη προς την διάμετρο του ημικυκλίου . Θεωρούμε σημείο

του τόξου $\overset{\frown}{CD}$ , τέτοιο ώστε : $\widehat{DCS}=45^0$ . Εντοπίστε σημείο του $\overset{\frown}{DB}$ , τέτοιο ώστε τα τρίγωνα

$SCP , SDP$ να είναι ισεμβαδικά και υπολογίστε το εμβαδόν του καθενός .

: Ισοπαλία.Κ.png (16.63 KiB) Προβλήθηκε 209 φορές

Όλα τα νούμερα περιττεύουν. Αρκεί η

να διέρχεται από το μέσο

του

(με την προϋπόθεση η

να τέμνει το τόξο

\overset\frown{DB}

).

edit: Δεν είχα προσέξει ότι η άσκηση ζητούσε και τα εμβαδά (οπότε χρειάζονται τα νούμερα). Ο υπολογισμός σε επόμενη ανάρτηση.

#3

KARKAR έγραψε: Πέμ Ιουν 11, 2026 10:21 am Ισοπαλία.pngΗ χορδή είναι παράλληλη προς την διάμετρο του ημικυκλίου . Θεωρούμε σημείο

του τόξου $\overset{\frown}{CD}$ , τέτοιο ώστε : $\widehat{DCS}=45^0$ . Εντοπίστε σημείο του $\overset{\frown}{DB}$ , τέτοιο ώστε τα τρίγωνα

$SCP , SDP$ να είναι ισεμβαδικά και υπολογίστε το εμβαδόν του καθενός .

Εύκολα βρίσκω τις συντεταγμένες των σημείων που φαίνονται στο σχήμα. Η ευθεία

έχει κλίση

\tan 45^\circ=1,

εξίσωση

y=x+7

και επανατέμνει το ημικύκλιο

y=\sqrt{25-x^2}

στο

S(-3,4).

Ομοίως, η ευθεία

τέμνει

το ημικύκλιο στο

P\left( {\dfrac{{24}}{5},\dfrac{7}{5}} \right).

: Ισοπαλία.Κ.png (17.05 KiB) Προβλήθηκε 163 φορές

\overrightarrow {SP} = \left( {\dfrac{{39}}{5}, - \dfrac{{13}}{5}} \right),\overrightarrow {SC} = ( - 1, - 1)

(SDP) = (SCP) = \dfrac{1}{2}|\det (\overrightarrow {SP} ,\overrightarrow {SC} )|

$\Leftrightarrow$

\boxed{(SDP)=(SCP)=\frac{26}{5}}

Πιστεύω ότι όλη η ουσία της άσκησης είναι ο γεωμετρικός εντοπισμός του σημείου
Ο υπολογισμός των εμβαδών είναι μία άχαρη διαδικασία με πράξεις ρουτίνας που δεν
παρουσιάζει κανένα μαθηματικό ενδιαφέρον.

KARKAR · #4

Η άσκηση βρίσκεται στον φάκελο των σχολικών Μαθηματικών . Γι' αυτό το επίπεδο , νομίζω

ότι δεν είναι και τόσο αδιάφορη . Φανταστείτε τη ως θέμα ενδοσχολικής εξέτασης ...

#5

george visvikis έγραψε: Σάβ Ιουν 13, 2026 10:07 am Πιστεύω ότι όλη η ουσία της άσκησης είναι ο γεωμετρικός εντοπισμός του σημείου
Ο υπολογισμός των εμβαδών είναι μία άχαρη διαδικασία με πράξεις ρουτίνας που δεν
παρουσιάζει κανένα μαθηματικό ενδιαφέρον.

.
Θα συμφωνήσω.

Πολλές φορές δεν έχω γράψει λύση σε προταθείσα άσκηση για τον φόβο της αποτρεπτικής πληκτρολόγισης θεμάτων ρουτίνας τα οποία ζητά, αναίτια, η εκφώνηση.

Ένας λόγος παραπάνω, αν η άσκηση απευθύνεται σε μαθητές. Η προσπάθειά μας ως δάσκαλοι είναι θα δουν την ομορφιά των Μαθηματικών, χωρίς αυτό που ο Πλάτωνας ονομάζει "βαυναυσουργία" όταν η Γεωμετρία "περί τα αισθητά παλινδρομεί".

add2math · #6

Μια γεωμετρική λύση για το β) ερώτημα.
Το τρίγωνο

SOD

είναι ορθογώνιο και ισοσκελές, αφού

S\hat{O}D=2S\hat{C}D=90\degree

, άρα

SD=5\sqrt{2}

Με το νόμο του συνημιτόνου στο τρίγωνο SCD

παίρνουμε ότι $SC=\sqrt{2}$ . Έστω

η κάθετη προβολή του

στην

.
Τότε, έχουμε διαδοχικά:

SS'=CS'=1, S'M=3, SM=\sqrt{10}, (SCM)=2

Από δύναμη του σημείου

ως προς τον κύκλο έχουμε:

SM\cdot MP=CM\cdot MD\Rightarrow MP=\frac{16}{\sqrt{10}}

Οπότε

\frac{(SCM)}{(CMP)}=\frac{SM}{MP}=\frac{10}{16}\Rightarrow (CMP)=3,2\Rightarrow \boxed{(SCP)=5,2}

Λήψη ggb

#7

add2math έγραψε: Κυρ Ιουν 14, 2026 4:36 pm Μια γεωμετρική λύση για το β) ερώτημα.
Το τρίγωνο $SOD$ είναι ορθογώνιο και ισοσκελές, αφού $S\hat{O}D=2S\hat{C}D=90\degree$ , άρα $SD=5\sqrt{2}$
Με το νόμο του συνημιτόνου στο τρίγωνο παίρνουμε ότι $SC=\sqrt{2}$ . Έστω η κάθετη προβολή του στην .
Τότε, έχουμε διαδοχικά: $SS'=CS'=1, S'M=3, SM=\sqrt{10}, (SCM)=2$
Από δύναμη του σημείου ως προς τον κύκλο έχουμε: $SM\cdot MP=CM\cdot MD\Rightarrow MP=\frac{16}{\sqrt{10}}$
Οπότε $\frac{(SCM)}{(CMP)}=\frac{SM}{MP}=\frac{10}{16}\Rightarrow (CMP)=3,2\Rightarrow \boxed{(SCP)=5,2}$

Λήψη ggb

Καλό

Ισοπαλία

Ισοπαλία

Re: Ισοπαλία

Re: Ισοπαλία

Re: Ισοπαλία

Re: Ισοπαλία

Re: Ισοπαλία

Re: Ισοπαλία

Μέλη σε σύνδεση