ΑΣΕΠ 2009

#41

Για την 9 (γινόμενο συνημιτόνων)

Υπόδειξη: Χρησιμοποιούμε τον τύπο ημ2θ = 2ημθσυνθ. Πριν πάρουμε το όριο
πολλαπλασιάζουμε και διαιρούμε την δοθείσα παράσταση επί ημ $\frac{\alpha}{2^n}$ και
"μαζεύουμε τηλεσκοπικά" τους όρους.

#42

Για το 9ο των πολλαπλών επιλογών κάνουμε χρήση του τύπου $cosa=\displaystyle\frac{sin2a}{2sina}$ .

Με διαδοχικές εφαρμογές αυτού του τύπου το ζητούμενο γινόμενο είναι ίσο με

$\displaystyle\frac{sina}{2sin\frac{a}{2}}\cdot \frac{sin\frac{a}{2}}{2sin\frac{a}{2^2}}\cdot \frac{sin\frac{a}{2^2}}{2sin\frac{a}{2^3}} \cdots \frac{sin\frac{a}{2^{n-2}}}{2sin\frac{a}{2^{n-1}}} \cdot \frac{sin\frac{a}{2^{n-1}}}{2sin\frac{a}{2^n}}} = \frac{sina}{2^nsin\frac{a}{2^n}}$

Όμως όταν $n\to\infty$ τότε $2^n\to \infty$ οπότε όταν $x\to\infty$ τότε $xsin\frac{a}{x} \to a$ (απλό με κανόνα Hospital)

Άρα το ζητούμενο γινόμενο τείνει στο $\displaystyle\frac{sina}{a}$

Αλέξανδρος

#43

Για την 10η πολλαπλών επιλογών έχουμε ότι η μία κυβική ρίζα της μονάδος είναι το

και οι άλλες είναι οι $\rho_1,\rho_2$ . Αφού ικανοποιούν την εξίσωση x^3-1=0

άρα από τους τύπους Vieta έχουμε

$1+\rho_1+\rho_2=0$ δηλαδή $1+\rho_1=-\rho_2$ και $1+\rho_2=-\rho_1$

Συναπώς η δοσμένη παράσταση ισούται με

$(-\rho_2)^{3000}+(-\rho_1)^{3000} = \left[(-\rho_2)^3\right]^{1000}+\left[(-\rho_1)^3\right]^{1000}=(-1)^{1000}+(-1)^{1000}= 1+ 1=2$

Αλέξανδρος

kochris · #44

καλή επιτυχία σε όλους τους διαγωνιζόμενους...έχω την αίσθηση οτι ήταν σχετικά δύσκολα τα θέματα και πολλά , αναμενόμενο άλλωστε...δεν σταμάτησα να γράφω ..μπορούμε να έχουμε μια συνολική εικόνα του multiple choice ή έστω τις απαντήσεις στις ερωτήσεις 1 , 2 και 12 ?

mathxl · #45

Για το 1β αφού βρούμε τα σημεία τομής χ=-1,2 και δούμε τα σημεία αλλαγής κλάδου χ=0,1 έχουμε
$\displaystyle{{\rm E} = \int\limits_{ - 1}^0 {\left( {3 + x - 1 + x} \right)dx + \int\limits_0^1 {\left( {3 - x + x - 1} \right)} } dx + \int\limits_1^2 {\left( {3 - x - x + 1} \right)} dx = 4}$ άρα το β

#46

Demetres έγραψε:Για το πρώτο θέμα που έβαλε ο/η giarou

Έχουμε $f^{\prime}(x) = 1 + 2x \sin(2/x) -2 \cos(2/x)$ για $x \neq 0$ και $f^{\prime}(0) = \lim_{x \to 0} 1 + x \sin(2/x) = 1$ .

'Εχουμε $f^{\prime}(1/(n \pi)) = -1$ για κάθε ακέραιο n, άρα η παράγωγος δεν είναι συνεχής στο 0 και δεν είναι αύξουσα στο $(-\varepsilon,\varepsilon)$

Για το δεύτερο θέμα

$f^{\prime}(x) = a(x + 1/x)^{a-1}(1 - 1/x^2)$

και

$f^{\prime \prime}(x) = a(a-1)(x+1/x)^{a-2}(1 - 1/x^2)^2 + a(x+1/x)^{a-1}(1 + 2/x^3) \geq 0$ για κάθε

άρα η συνάρτηση είναι κυρτή.

Η ανισότητα βγαίνει με θεώρημα μέσης τιμής. Έχουν δοθεί αποδείξεις εδώ.

Νομίζω ότι οι υπολογισμοί ευκολύνονται αν πρώτα λογαριθμίσουμε και μετά παραγωγίσουμε

#47

Για την 4 των πολλαπλών επιλογών πρέπει να λύσουμε την εξίσωση $2\displaystyle\binom{n}{2}=\binom{n}{1}+\binom{n}{2}$ δηλαδή την $2\displaystyle\frac{n(n-1)}{2}=n+\frac{n(n-1)(n-2)}{6}$ και φυσικά δεν κάνουμε κίνηση να την λύσουμε! Βάζουμε μία-μία τις προτεινόμενες τιμές και η n=7

μας κάνει! Την κυκλώνουμε και πάμε παρακάτω!

Αλέξανδρος

giarou · #48

Βάζω τις δικές μου απαντήσεις στα πολ.επιλογής
1β
2-
3γ
4β
5γ
6δ
7β
8α
9α
10γ
11-
12γ

bpetrop · #49

Καλησπέρα σε όλους και καλά αποτελέσματα στους υποψηφίους. Κατέβηκα και γω αλλά χωρίς προετοιμασία καθώς το μεταπτυχιακό μου τρώει πολύ χρόνο. Ανεβάζω τα θέματα για όποιον ενδιαφέρεται!!!!

kochris · #50

οσον αφορα την 11η ερώτηση η απαντηση μου ειναι γ ... στην δευτερη ερωτηση καποια γνωμη?? η επιλογη μου ειναι παλι το γ

mathxl · #51

Για το 12γ συνδυάζοντας τύπους στερεομετρίας για εμβαδό και όγκο
$\begin{array}{l} E = 2\pi \rho \left( {x + \rho } \right),V = \pi \rho ^2 x,x = \upsilon \psi o\varsigma \\ E\left( x \right) = 2\sqrt {V\pi x} +\displaystyle \frac{{2v}}{x} \\ E^{\prime}\left( x \right) = 0 \Rightarrow x = \sqrt[3]{{\displaystyle\frac{{4V}}{\pi }}} \\ \end{array}$

Κώστας Μαλλιάκας · #52

Καλησπέρα σας,
Όσοι είναι μέσα και ενδιαφέρονται μπορούν να βρουν τα θέματα στο alfavita

bpetrop · #53

Τα έχω ανεβάσει και είναι στη σελίδα 5

#54

Για το 2ο των πολλαπλών επιλογών αν βάλουμε

την ακτίνα της σφαίρας και

την ακτίνα της βάσης του κώνου από τη δοσμένη συνθήκη ισχύει R^3=r^2h

.

Επίσης από το Πυθαγόρειο θεώρημα στο τρίγωνο ΟΚΓ έχουμε R^2=r^2+(h-R)^2

Από τις 2 παραπάνω σχέσεις απαλοίφουμε το r^2

κι έτσι παίρνουμε τη τριτοβάθμια ως προς

εξίσωση

$R^3-2h^2R+h^3=0 \Rightarrow (R-h)(R^2+hR-h^2)=0$ , απ' όπου απορρίπτουμε την λύση R=h

από την υπόθεση και κρατάμε τη θετική ρίζα της δευτεροβάθμιας η οποία είναι $R=\displaystyle\frac{h(\sqrt{5}-1)}{2}$

Άρα μετά την αντικατάσταση και τις αντίστοιχες πράξεις λαμβάνουμε $\boxed{V=\displaystyle\frac{4}{3}\pi\left(\sqrt{5}-2\right)h^3}.$

Αλέξανδρος

#55

Για το πολλαπλης 2 , $h=R(\sqrt{5}+1)/2$

#56

ακυρο

#57

Ο Μπάμπης έχει δίκιο (Να μεταφερθούν όλες οι απαντήσεις σε μια ομάδα).
Επίσης θα πρότεινα να συμμαζέψουμε τις απαντήσεις -λύσεις σε ένα αρχείο Word ή Acrobat.

Θα πρότεινα όποιος έχει αρχεία ήδη γραμμένα σε Word ας τα αναρτήσει ως συνημμένα.

Όσοι θέλουν να βοηθήσουν, ας επικοινωνήσουμε με πρ. μηνύματα για τις λεπτομέρειες.

Δίνω σε pdf μία λύση για το 1β. (Γεωμετρία)

Γιώργος Ρίζος

agh · #58

Γεια σας.
Απαντήσεις για τις πιθανότητες κ το εμβαδον στην υπερβολη υπάρχουν?

#59

Η απάντηση για τις πιθανότητες είναι

$\displaystyle\frac{200}{600}\cdot 0,93 + \frac{250}{600}\cdot 0,96+\frac{150}{600}\cdot 0.88 = \frac{4\cdot 0,93+5\cdot 0.96+3\cdot 0,88}{12}$

Για να κάνω γρήγορες πράξεις (ακόμη κι αυτό παίζει το ρόλο του και γι'αυτό το γράφω) θέτω a=0,93

άρα η παραπάνω γράφεται $\displaystyle\frac{4a+5(a+0,03)+3(a-0,05)}{12}=\frac{12a}{12}=a=0,93$ .

Αλέξανδρος

agh · #60

Ευχαριστώ,εγω νόμιζα πως ήταν δεσμευμένη πιθανότητα,μπερδευτηκα κ δεν απάντησα.Κριμα γιατι το είχα σκεφτει έτσι.

ΑΣΕΠ 2009

Re: ΑΣΕΠ 2009

Re: ΑΣΕΠ 2009

Re: ΑΣΕΠ 2009

Re: ΑΣΕΠ 2009

Re: ΑΣΕΠ 2009

Re: ΑΣΕΠ 2009

Re: ΑΣΕΠ 2009

Re: ΑΣΕΠ 2009

Re: ΑΣΕΠ 2009

Re: ΑΣΕΠ 2009

Re: ΑΣΕΠ 2009

Re: ΑΣΕΠ 2009

Re: ΑΣΕΠ 2009

Re: ΑΣΕΠ 2009

Re: ΑΣΕΠ 2009

Re: ΑΣΕΠ 2009

Re: ΑΣΕΠ 2009

Re: ΑΣΕΠ 2009

Re: ΑΣΕΠ 2009

Re: ΑΣΕΠ 2009

Μέλη σε σύνδεση