Ένα κέρασμα μέσω ύπαρξης

#1

Ένα κέρασμα ένεκα της επιστροφής μου μετά από καιρό και όχι μόνο...

Έστω μια συνάρτηση $\displaystyle{f:[0,1] \to \mathbb{R}}$ ένα προς ένα και επί αλλά και παραγωγίσιμη.

Να αποδείξετε ότι υπάρχει $\xi \in (0,1)$ τέτοιος ώστε:

$\displaystyle{\int\limits_{f(0)}^{f(1)} {{f^{ - 1}}(x)dx} = \frac{1}{2}f'(\xi )}$

Y.Γ: Το "επί" ίσως και να είναι πλεονασμός. Η πηγή μου έλεγε "bijective function".

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #2

Είναι γνωστό ότι

$\int_{f(0)}^{f(1)}f^{-1}(t)dt=f(1)-\int_{0}^{1}f(t)dt$

Αλλά $f(1)-\int_{0}^{1}f(t)dt=\int_{0}^{1}(f(1)-f(t))dt=A$

Εστω $M=sup\left \{ f'(x):x\in (0,1) \right \},m=inf\left \{ f'(x):x\in (0,1) \right \}$

Εχουμε ότι $m(1-t)\leq f(1)-f(t)\leq M(1-t)$ για $t\in (0,1)$

Ολοκληρώνοντας την τελευταία παίρνουμε ότι $\frac{1}{2}m\leq A\leq \frac{1}{2}M$

Η ιδιότητα Darboux της παραγώγου μας δίνει ότι υπάρχει $\xi \in (0,1)$

με $A=\frac{1}{2}f'(\xi )$ που είναι το ζητούμενο.

#3

Καλησπέρα Σταύρο κι ευχαριστώ για την ενασχόληση!
Ίσως η λύση σου να περνάει μέσα από τη συνέχεια της πρώτης παραγώγου, στοιχείο που δεν το δίνω!
Από την άλλη διατηρώ επιφύλαξη γιατί κάποια στιγμή κάτι είχες αναφέρει για την παράγωγο και αν αυτή απαιτείται να είναι συνεχής ίταν ολοκληρώνεται μα...το έχω ξεχάσει. Αν μπορείς να μας το ξαναθυμίσεις θα σου ήμουν υπόχρεος.
Ευχαριστώ εκ των προτέρων.
Η άσκηση επιδέχεται και πιο απλή λύση.
Καλό βράδυ σε όλους!

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #4

Χρήστο γεια.
Η λύση μου δεν χρησιμοποιεί συνέχεια παραγώγου.
Αυτό που χρησιμοποιεί είναι το εξής
Αν $f:I\rightarrow \mathbb{R}$ συνάρτηση παραγωγίσιμη με

ανοικτό διάστημα τότε
το f'(I)

είναι διάστημα.
Το άλλο που ρωτάς έχει σχέση με το προηγούμενο και είναι
Αν $f:I\rightarrow \mathbb{R}$ συνάρτηση παραγωγίσιμη με

ανοικτό διάστημα και
η

είναι μονότονη τότε η

είναι συνεχής.

dement · #5

Χρήστο, έχω ένα προβληματάκι.

Αν η συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη, είναι συνεχής. Αν είναι συνεχής και 1-1, είναι γνησίως μονότονη. Αν είναι γνησίως μονότονη και επί του $\mathbb{R}$ , έχει άπειρα όρια στα 0, 1

και έτσι δεν είναι συνεχής.

"bijective" σημαίνει πράγματι 1-1 και επί, αλλά υποψιάζομαι ότι ο σωστός όρος θα ήταν injective (1-1). Ούτως ή άλλως το "επί" δε χρειάζεται.

#6

Σταύρο και Δημήτρη καλημέρα και καλή Κυριακή!
Σταύρο διαβάζοντας τη λύση σου θεώρησα προς το πρώτο βήμα πιυ κάνεις, χρησιμοποιείς τη γνωστή αντικατάσταση x=f(u)

οπότε βάζεις στο ολοκλήρωμα και την παράγωγο, μετά παραγοντική κτλ..
Γι αυτό και το σχόλιο! Ευχαριστώ για την απαντηση.

Δημήτρη όντως δε χρειαζεται το επί, προσπάθησα να μεταφρασω κυριολεκτικά και μετέφερα αυτήν την αστοχία. Ευχαριστώ πολυ!

Ωστόσο υπάρχει λύση πιό απλή απο του Σταύρου. Και ειναι και ο λόγος που επέλεξα την άσκηση.

M.S.Vovos · #7

Καλημέρα κύριε Χρήστο.
Σας πεθυμήσαμε. Μόλις χθες έλυνα μια άσκηση μιγαδικών που είχατε ανεβάσει (ΔΕΝ ξεχνιούνται οι μιγαδικοί). Στο θέμα θα ήθελα να ρωτήσω αν η συνθήκη 1-1 είναι αναγκαία.

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #8

Καλημέρα Μάριε.
Φυσικά και είναι αναγκαία.Αφου υπάρχει αντίστροφη.
Βάζω την λύση που θέλει ο Χρήστος.(Δεν θα γράψω λεπτομέρειες)

Θέτουμε $G(x)=\int_{f(0)}^{f(x)}f^{-1}(t)dt$

Θέτουμε $g(x)=G(1)x^{2}-G(x)$

Το θεώρημα του Rolle για την

στο

μας δίνει το ζητούμενο.

( G'(x)=xf'(x)

)

M.S.Vovos · #9

Σωστά απλα πέρα απο το οτι χρειάζεται για να μπει στο παιχνίδι ή αντίστροφη σκέφτομαι μήπως υπάρχει λύση αξιοποιώντας την 1-1 συνθήκη.

#10

Ο Σταύρος παράθεσε μια ακόμη πιο απλή λύση από αυτήν που είχα υπόψη!
Εγώ είχα λύση με το θεώρημα Cauchy για τη συνάρτηση $\displaystyle{G(x) = \int\limits_{f(0)}^{f(x)} {{f^{ - 1}}(y)dy} }$
και τη x^2

στο

Υ.Γ Σταύρο εννοούσα αυτό το σημείο:

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε:Είναι γνωστό ότι

$\int_{f(0)}^{f(1)}f^{-1}(t)dt=f(1)-\int_{0}^{1}f(t)dt$

,

Εδώ κάπου χρησιμοποιείς στο ολοκλήρωμα την πρώτη παράγωγο ή κάνω λάθος;

Υ.Γ: Είναι καλό να μπαίνεις σε λεπτομέρειες Σταύρο, όχι εξωφρενικές φυσικά, γιατί πρόκειται περί γραπτής συνεννόησης!
Οι ισορροπίες εκεί είναι λεπτές.

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #11

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε:Είναι γνωστό ότι

$\int_{f(0)}^{f(1)}f^{-1}(t)dt=f(1)-\int_{0}^{1}f(t)dt$

,

Εδώ κάπου χρησιμοποιείς στο ολοκλήρωμα την πρώτη παράγωγο ή κάνω λάθος;

Γεια σου Χρήστο.
Το παραπάνω ισχύει με την προυπόθεση ότι η

είναι συνεχής και 1-1.
Κάνοντας ένα σχήμα εύκολα φαίνεται.Αν κάποιος δεν πιστεύει στα σχήματα τότε δεν έχει παρά να πάρει αθροίσματα
Darboux και να το αποδείξει.

Η δεύτερη απόδειξη που έκανα είναι ίδια με την δική σου.
Απλά εγώ απέδειξα και το γενικευμένο Θεώρημα μέσης τιμής.(Μου ήταν τεχνικά αδύνατο να γράψω πολλά γιαυτό άφησα τις λεπτομέρειες)
Γενικά στις περισσότερες περιπτώσεις μπορεί να παρακαμφθεί μιας και η απόδειξη του είναι απλούστατη.
Θεωρώ ότι η πρώτη απόδειξη που έδωσα είναι πιο φυσιολογική.
Η άσκηση θα ήταν πιο βατή αν δινόταν η συνέχεια της παραγώγου.

#12

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε:Είναι γνωστό ότι

$\int_{f(0)}^{f(1)}f^{-1}(t)dt=f(1)-\int_{0}^{1}f(t)dt$

Σταύρο καλησπέρα. Επετρεψέ μου να μη βλέπω με τα δεδομένα που δίνονται αυτό που γράφεις.
Θα το ξαναψάξω.
Ευχαριστώ για την τροφή για γνώση.

Ένα κέρασμα μέσω ύπαρξης

Ένα κέρασμα μέσω ύπαρξης

Re: Ένα κέρασμα μέσω ύπαρξης

Re: Ένα κέρασμα μέσω ύπαρξης

Re: Ένα κέρασμα μέσω ύπαρξης

Re: Ένα κέρασμα μέσω ύπαρξης

Re: Ένα κέρασμα μέσω ύπαρξης

Re: Ένα κέρασμα μέσω ύπαρξης

Re: Ένα κέρασμα μέσω ύπαρξης

Re: Ένα κέρασμα μέσω ύπαρξης

Re: Ένα κέρασμα μέσω ύπαρξης

Re: Ένα κέρασμα μέσω ύπαρξης

Re: Ένα κέρασμα μέσω ύπαρξης

Μέλη σε σύνδεση