Από ισότητες σε ανισότητα.

Συντονιστής: chris_gatos

Άβαταρ μέλους
chris_gatos
Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 6875
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 9:03 pm
Τοποθεσία: Ανθούπολη

Από ισότητες σε ανισότητα.

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από chris_gatos » Πέμ Μαρ 26, 2020 9:52 pm

Έστω x, y, z\epsilon \mathbb{R} οι οποίοι ικανοποιούν τις σχέσεις:
cosx+cosy+cosz=0 και cos(3x)+cos(3y)+cos(3z)=0.
Να αποδείξετε ότι:
cos(2x)\cdot cos(2y)\cdot cos(2z)\le0


Χρήστος Κυριαζής

Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Ορέστης Λιγνός
Δημοσιεύσεις: 1610
Εγγραφή: Κυρ Μάιος 08, 2016 7:19 pm
Τοποθεσία: Χαλάνδρι Αττικής

Re: Από ισότητες σε ανισότητα.

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Ορέστης Λιγνός » Πέμ Μαρ 26, 2020 10:21 pm

chris_gatos έγραψε:
Πέμ Μαρ 26, 2020 9:52 pm
Έστω x, y, z\epsilon \mathbb{R} οι οποίοι ικανοποιούν τις σχέσεις:
cosx+cosy+cosz=0 και cos(3x)+cos(3y)+cos(3z)=0.
Να αποδείξετε ότι:
cos(2x)\cdot cos(2y)\cdot cos(2z)\le0
Καλησπέρα! :)

Είναι, \cos 3x=4\cos ^3 x-3\cos x και τα κυκλικά, οπότε η δεύτερη σχέση γράφεται 4(\cos ^3 x+\cos ^3 y+\cos ^3 z)=3(\cos x+\cos y+\cos z).

Αφού όμως \cos x+\cos y+\cos z=0, προκύπτει ότι: \cos ^3 x+\cos ^3 y+\cos ^3 z=\cos x+\cos y+\cos z=0.

Έστω, \cos x=A, \cos y=B, \cos z=C. Τότε, A+B+C=A^3+B^3+C^3=0, οπότε (B+C)^3=-A^3=B^3+C^3, που δίνει BC(B+C)=0.

Αν B+C=0, έχω A=0, οπότε πάντα οι λύσεις είναι της μορφής (0,k,-k) (και κυκλικά - δηλαδή ο ένας μηδέν και οι άλλοι δύο αντίθετοι).

Έστω χωρίς βλάβη της γενικότητας ότι \cos x=0 και \cos z=-\cos y. Τότε,

\cos(2x)\cdot \cos(2y)\cdot \cos(2z)=(2 \cos ^2 x-1)(2 \cos ^2 y-1)(2 \cos ^2 z-1)=-(2 \cos^2 y-1)^2 \leqslant 0, και η απόδειξη ολοκληρώθηκε.


Κερδίζουμε ό,τι τολμούμε !
Απάντηση

Επιστροφή σε “Προτεινόμενα Θέματα Μαθηματικών”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης