Μέγιστη-ελάχιστη τιμή

#1

Αν οι πραγματικοί αριθμοί ικανοποιούν τη σχέση |x+y|+|x-y|=1,

να βρεθεί η μέγιστη και η ελάχιστη τιμή της παράστασης x^2+y^2-6(x+y).

Pla.pa.s · #2

Υψώνουμε στο τετράγωνο κι έχουμε $2x^{2}+2y^{2}+2\left|x^{2}-y^{2}\right|=1$ .
Χωρίς βλάβη της γενικότητας θεωρούμε $|x|\geq|y|$ κι έχουμε $4x^{2}=1 \Leftrightarrow x=\pm\frac{1}{2}$ .
Άρα $\frac{1}{2}\geq|y|\geq -\frac{1}{2}$ και είναι
$x^{2}+y^{2}-6(x+y)=x^{2}-6x+y^{2}-6y$ . Βλέπουμε ότι το

είναι (σχετικά) ανεξάρτητο από το

.
Από τη μονοτονία της $f(x)=x^{2}-6x$ βλέπουμε ότι η μέγιστη τιμή της όταν $\frac{1}{2}\geq x \geq-\frac{1}{2}$ είναι $f(-\frac{1}{2})=\frac{13}{4}$ και η ελάχιστη $f(\frac{1}{2})=-\frac{11}{4}$ .
Συνεπώς από τα παραπάνω $max_{x^{2}+y^{2}-6(x+y)}=\frac{13}{2}$ και $min_{x^{2}+y^{2}-6(x+y)}=-\frac{11}{2}$ .

Ελπίζω να μην έχω κάνει κανένα λάθος.

#3

Ωραία!

Έχει ενδιαφέρον να το δούμε και γεωμετρικά!

parmenides51 · #4

socrates έγραψε:Ωραία!

Έχει ενδιαφέρον να το δούμε και γεωμετρικά!

Θα με ενδιέφερε μια γεωμετρική αντιμετώπιση.

#5

parmenides51 έγραψε:
socrates έγραψε:Ωραία!

Έχει ενδιαφέρον να το δούμε και γεωμετρικά!
Θα με ενδιέφερε μια γεωμετρική αντιμετώπιση.

Απόδειξη χωρίς λέξεις (για το ελάχιστο, αντίστοιχα για το μέγιστο)

Γιώργος Μπαλόγλου

#6

Σχετικό θέμα:
https://www.mathematica.gr/forum/viewto ... 19&t=35229

Μέγιστη-ελάχιστη τιμή

Μέγιστη-ελάχιστη τιμή

Re: Μέγιστη-ελάχιστη τιμή

Re: Μέγιστη-ελάχιστη τιμή

Re: Μέγιστη-ελάχιστη τιμή

Re: Μέγιστη-ελάχιστη τιμή

Re: Μέγιστη-ελάχιστη τιμή

Μέλη σε σύνδεση