Βρείτε πρώτους αριθμούς

#1

Να βρείτε όλους τους πρώτους αριθμούς

που είναι τέτοιοι ώστε ο αριθμός 8p^2+1

να είναι επίσης πρώτος.

#2

chris_gatos έγραψε: ↑
Παρ Ιούλ 21, 2023 5:57 pm
Να βρείτε όλους τους πρώτους αριθμούς που είναι τέτοιοι ώστε ο αριθμός να είναι επίσης πρώτος.

Για

έχουμε $8p^2+1= 8 \cdot 4+1 =33$ . Σύνθετος. Δεν μας κάνει.

Για p=3

έχουμε $8p^2+1= 8 \cdot 9+1 =73$ . Πρώτος. Μας κάνει.

Oι υπόλοιποι πρώτοι είναι της μορφής $6m\pm 1$ . Για αυτούς έχουμε

$8p^2+1= 8 (6m\pm1)^2+1 =8( 36m^2\pm 12m +1)+1= 3(96m^2 \pm 32m + 3) =$ πολλαπλάσιο του

. Δεν μας κάνουν.

#3

Και λίγο διαφορετικά:

Για κάθε ακέραιο $\displaystyle{p}$ έχουμε ότι $\displaystyle{p=3k}$ , ή $\displaystyle{p=3k+1}$ , ή $\displaystyle{p=3k+2}$ .
Αφού όμως ο $\displaystyle{p}$ είναι πρώτος, τότε η περίπτωση $\displaystyle{p=3k}$ αποκλείεται, εκτός αν $\displaystyle{k=1}$ .
Για $\displaystyle{k=1}$ είναι $\displaystyle{p=3}$ και τότε $\displaystyle{8p^2 +1 = 73}$ . Και επειδή ο $\displaystyle{73}$ είναι πρώτος, άρα η τιμή $\displaystyle{p=3}$
είναι δεκτή.

Ας υποθέσουμε τώρα ότι $\displaystyle{p=3k+1}$ , όπου ο $\displaystyle{k}$ είναι θετικός ακέραιος.
Τότε $\displaystyle{8p^2 +1 = 3(24k^2 +16k+3)}$ και αφού $\displaystyle{24κ^2 +16κ+3 >1}$ , ο αριθμός μας δεν είναι πρώτος

Τέλος, έστω ότι $\displaystyle{p=3k+2}$ , όπου ο $\displaystyle{k}$ είναι μη αρνητικός ακέραιος.
Τότε $\displaystyle{8p^2 +1 = 3(24k^2 +32k+11)}$ και αφού $\displaystyle{24k^2 +32k+11 >1}$ , ο αριθμός μας και πάλι δεν είναι πρώτος.

Τελικά, η μόνη αποδεκτή τιμή για τον $\displaystyle{p}$ είναι η $\displaystyle{p=3}$

S.E.Louridas · #4

chris_gatos έγραψε: ↑
Παρ Ιούλ 21, 2023 5:57 pm
Να βρείτε όλους τους πρώτους αριθμούς που είναι τέτοιοι ώστε ο αριθμός να είναι επίσης πρώτος.

Είναι καθαρό ότι $3|2p\left( {4{p^2} - 1} \right)\;\;\;(1)$ (αφού το γινόμενο τριών διαδοχικών ακέραιων διαιρείται με 3).

Θεωρούμε $A = 8{p^2} + 1 = 2\left( {4{p^2} - 1} \right) + 3,$ επομένως αν p=2

, τότε

, αν

τότε

,
το οποίο δεχόμαστε και τέλος αν $p > 3\mathop \Rightarrow \limits^{\left( 1 \right)} 3|4{p^2} - 1 \Rightarrow A = 3n.$
Τελικά η μόνη αποδεκτή τιμή είναι η p=3.

#5

chris_gatos έγραψε: ↑
Παρ Ιούλ 21, 2023 5:57 pm
Να βρείτε όλους τους πρώτους αριθμούς που είναι τέτοιοι ώστε ο αριθμός να είναι επίσης πρώτος.

Είναι $8p^2+1=9p^2-(p-1)(p+1) \. \, (*)$ . Παρατηρούμε τώρα ότι για $p\ge 3$ πρώτο, και γενικότερα για οποινδήποτε αριθμό

που δεν είναι πολλαπλάσιο του

(και άρα είναι της μορφής $3k \pm 1$ ), ο δεύτερος προσθετέος της (*)

είναι πολλαπλάσιο του

. Άρα η

είναι επίσης πολλαπλάσιο του

. Απορρίπτεται. Και λοιπά.

ksofsa · #6

Σχεδόν ίδια λύση με τις προηγούμενες:

Αν $p\neq 3$ , τότε $p^2\equiv 1(mod3)\Rightarrow 8p^2+1\equiv 0(mod3)$ , σύνθετος.

Για p=3

,

, πρώτος.

Βρείτε πρώτους αριθμούς

Βρείτε πρώτους αριθμούς

Re: Βρείτε πρώτους αριθμούς

Re: Βρείτε πρώτους αριθμούς

Re: Βρείτε πρώτους αριθμούς

Re: Βρείτε πρώτους αριθμούς

Re: Βρείτε πρώτους αριθμούς

Μέλη σε σύνδεση