Ανισότητες από άλλες ανισότητες

orestisgotsis · #1

ΠΕΡΙΤΤΑ

abgd · #2

orestisgotsis έγραψε: ↑
Τρί Φεβ 20, 2024 1:40 pm
Για τους αριθμούς $a,b,c,d\in \mathbb{R}$ ισχύει: . Να αποδείξετε ότι:

α) $\displaystyle 4\left( a{{b}^{3}}+b{{c}^{3}}+c{{d}^{3}} \right)<{{a}^{4}}+4{{b}^{4}}+4{{c}^{4}}+3{{d}^{4}}$ .

β) $\displaystyle 4(b{{a}^{3}}+c{{b}^{3}}+d{{c}^{3}})<3{{a}^{4}}+4{{b}^{4}}+4{{c}^{4}}+{{d}^{4}}$ .

Η συνάρτηση $\displaystyle{f(x)=x^4}$ είναι κυρτή. Με τη βοήθεια του Θ.Μ.Τ. στα διαστήματα $\displaystyle{[a,b],[b,c], [c,d]}$ έχουμε:

$\displaystyle{4a^3(b-a)<b^4-a^4<4b^3(b-a)}$ ,

$\displaystyle{4b^3(c-b)<c^4-b^4<4c^3(c-b)}$ ,

$\displaystyle{4c^3(d-c)<d^4-c^4<4d^3(d-c)}$

Προσθέτοντας κατά μέλη έχουμε τις ζητούμενες ανισότητες.

#3

Αποδεικνύονται αμέσως και με απλή χρήση της ανισότητας ΑΜ-ΓΜ.

Π.χ. για την πρώτη:

$\displaystyle{a^4+3b^4>4|ab^3|\geq 4ab^3}$

$\displaystyle{b^4+3c^4>4|bc^3|\geq 4bc^3}$

$\displaystyle{c^4+3d^4>4|cd^3|\geq 4cd^3.}$

Με πρόσθεση λαμβάνουμε το ζητούμενο.

Από την απόδειξη αυτή φαίνεται ότι η διάταξη δεν παίζει κανέναν ρόλο, απλώς χρειάζεται να είναι $|a|\ne |b|$ ή $|b|\ne |c|$ ή $|c|\ne |d|.}$

Με ανάλογο τρόπο αποδεικνύεται και η δεύτερη.

Ανισότητες από άλλες ανισότητες

Ανισότητες από άλλες ανισότητες

Re: Ανισότητες από άλλες ανισότητες

Re: Ανισότητες από άλλες ανισότητες

Μέλη σε σύνδεση