Από παραλληλόγραμμο σε...διχοτόμο!

[Henri van Aubel]

... Αν βρεθεί κάποια λύση με θεωρία Γεωμετρίας Α λυκείου, με υλικά μέχρι παραλληλόγραμμα, θα με ενδιέφερε.

Από παραλληλόγραμμο σε...διχοτόμο!.png


Στην ημιευθεία ΗΒ παίρνουμε , οπότε το τρίγωνο ισοσκελές, δηλαδή . Προεκτείνουμε το

και παίρνουμε τμήματα . Κατόπιν κύκλο κέντρου και ακτίνας . Μετά κύκλο κέντρου και ακτίνας . Οι κύκλοι

τέμνονται και έχουν κοινή χορδή την . Η διάκεντρος είναι μεσοκάθετος της , οπότε .

Από , (1), (2) και (Π-Π-Π) έπεται ότι ,

οπότε και . Τέλος από (3), (4) προκύπτει ότι .

Ορέστη, παίρνεις ως δεδομένο ότι οι κύκλοι έχουν κοινή χορδή πράγμα που ισχύει με την προυπόθεση ότι ισχύει αυτό που θέλουμε να δείξουμε. Η απόδειξη αυτή δεν διαφέρει σε τίποτα ουσιαστικό από την προηγούμενη λανθασμένη απόδειξη.

[george visvikis]

... Αν βρεθεί κάποια λύση με θεωρία Γεωμετρίας Α λυκείου, με υλικά μέχρι παραλληλόγραμμα, θα με ενδιέφερε.

Από παραλληλόγραμμο σε...διχοτόμο!.png


Στην ημιευθεία ΗΒ παίρνουμε , οπότε το τρίγωνο ισοσκελές, δηλαδή . Προεκτείνουμε το

και παίρνουμε τμήματα . Κατόπιν κύκλο κέντρου και ακτίνας . Μετά κύκλο κέντρου και ακτίνας . Οι κύκλοι

τέμνονται και έχουν κοινή χορδή την . Η διάκεντρος είναι μεσοκάθετος της , οπότε .

Από , (1), (2) και (Π-Π-Π) έπεται ότι ,

οπότε και . Τέλος από (3), (4) προκύπτει ότι .

Ορέστη, δεν σε προβληματίζει το γεγονός ότι δεν έχεις χρησιμοποιήσει το βασικό δεδομένο
Προφανώς η απόδειξη είναι λάθος.

[Henri van Aubel]

... Αν βρεθεί κάποια λύση με θεωρία Γεωμετρίας Α λυκείου, με υλικά μέχρι παραλληλόγραμμα, θα με ενδιέφερε.

Από παραλληλόγραμμο σε...διχοτόμο!.png


Στην ημιευθεία ΗΒ παίρνουμε , οπότε το τρίγωνο ισοσκελές, δηλαδή . Προεκτείνουμε το

και παίρνουμε τμήματα . Κατόπιν κύκλο κέντρου και ακτίνας . Μετά κύκλο κέντρου και ακτίνας . Οι κύκλοι

τέμνονται και έχουν κοινή χορδή την . Η διάκεντρος είναι μεσοκάθετος της , οπότε .

Από , (1), (2) και (Π-Π-Π) έπεται ότι ,

οπότε και . Τέλος από (3), (4) προκύπτει ότι .

Ορέστη, δεν σε προβληματίζει το γεγονός ότι δεν έχεις χρησιμοποιήσει το βασικό δεδομένο
Προφανώς η απόδειξη είναι λάθος.

Ετοιμαζόμουν να γράψω ακριβώς το ίδιο.

[Henri van Aubel]

Και κάτι άλλο (σαν παράκληση): Ένα τόσο καλό θεματάκι και εύκολο με μία τόσο σύντομη και ωραία λύση, δεν αξίζει να το ''βρωμίζουμε'' .
Ας το αφήσουμε όπως είναι.

[orestisgotsis]

Περιττό

[Henri van Aubel]

Την άσκηση αυτή την βρήκα σε ένα βιβλίο Γεωμετρίας που αγόρασα πρόσφατα, άλυτη και να βρίσκεται στο κεφάλαιο των παραλληλογράμμων.
Προσπάθησα να την λύσω με ύλη σχετική αλλά δεν μπόρεσα. Απ' ότι βλέπω όμως υπάρχουν πολλοί άλλοι τρόποι.
Ευχαριστώ ξανά. Αν βρεθεί κάποια λύση με θεωρία Γεωμετρίας Α λυκείου, με υλικά μέχρι παραλληλόγραμμα, θα με ενδιέφερε.

Από παραλληλόγραμμο σε...διχοτόμο!.png

Είναι και , άρα ισοσκελές. Τότε .

Είναι . διχοτόμος της αν και μόνο αν διχοτόμος

της , που αληθεύει.

Η απόδειξη είναι λανθασμένη. Δεν έχεις δείξει ότι

[orestisgotsis]

Περιττό

[Henri van Aubel]

Την άσκηση αυτή την βρήκα σε ένα βιβλίο Γεωμετρίας που αγόρασα πρόσφατα, άλυτη και να βρίσκεται στο κεφάλαιο των παραλληλογράμμων.
Προσπάθησα να την λύσω με ύλη σχετική αλλά δεν μπόρεσα. Απ' ότι βλέπω όμως υπάρχουν πολλοί άλλοι τρόποι.
Ευχαριστώ ξανά. Αν βρεθεί κάποια λύση με θεωρία Γεωμετρίας Α λυκείου, με υλικά μέχρι παραλληλόγραμμα, θα με ενδιέφερε.

Από παραλληλόγραμμο σε...διχοτόμο!.png

Είναι και , άρα ισοσκελές. Τότε .

Είναι . διχοτόμος της αν και μόνο αν διχοτόμος

της , που αληθεύει.

Η απόδειξη είναι λανθασμένη. Δεν έχεις δείξει ότι

(1) Για να χαρακτηριστεί μία άσκηση ως σωστή ή λανθασμένη θα πρέπει να έχει δοθεί λύση. Η συγκεκριμένη δεν έχει αποδειχθεί, άρα άστοχος ο χαρακτηρισμός.

(2) Απ’ όσα έκανα καταλήγω στο ότι με εργαλεία μέχρι και παραλληλόγραμμα δεν υπάρχει (;) λύση. Σε αυτή τη φάση συμφωνώ με τον κύριο Νίκο (# 19).

1. Όχι, καθόλου άστοχο αυτό που είπα, ίσα ίσα, είναι η αλήθεια (ότι η απόδειξή σου είναι λανθασμένη). Επίσης, έχουν δοθεί λύσεις από τον Κύριο Λουρίδα και από τον Γιώργο Βισβίκη και μάλιστα υπέροχες. Η άσκηση είναι μία χαρά, η δική σου ''λύση'' είναι λανθασμένη.
2. Ναι, πράγματι, με εργαλεία μέχρι τα παραλληλόγραμμα, δεν υπάρχει λύση. Και τι έγινε; δεν πειράζει

[vittasko]

(2) Απ’ όσα έκανα καταλήγω στο ότι με εργαλεία μέχρι και παραλληλόγραμμα δεν υπάρχει (;) λύση.

Η λύση όμως του Σωτήρη Λουρίδα πιο πάνω (#3) χρησιμοποιεί μόνο εμβαδόν παραλληλογράμμου και την ιδιότητα διχοτόμου γωνίας.

Δεν νομίζω ότι μπορεί να υπάρξει απλούστερη απόδειξη.

Κώστας Βήττας.

[orestisgotsis]

Περιττό

[george visvikis]

(2) Απ’ όσα έκανα καταλήγω στο ότι με εργαλεία μέχρι και παραλληλόγραμμα δεν υπάρχει (;) λύση.

Η λύση όμως του Σωτήρη Λουρίδα πιο πάνω (#3) χρησιμοποιεί μόνο εμβαδόν παραλληλογράμμου και την ιδιότητα διχοτόμου γωνίας.

Δεν νομίζω ότι μπορεί να υπάρξει απλούστερη απόδειξη.

Κώστας Βήττας.

Τα εμβαδά είναι μετά τα παραλληλόγραμμα και δεν είναι στην ύλη της Α' Λυκείου, Κώστα.

[Henri van Aubel]

(2) Απ’ όσα έκανα καταλήγω στο ότι με εργαλεία μέχρι και παραλληλόγραμμα δεν υπάρχει (;) λύση.

Η λύση όμως του Σωτήρη Λουρίδα πιο πάνω (#3) χρησιμοποιεί μόνο εμβαδόν παραλληλογράμμου και την ιδιότητα διχοτόμου γωνίας.

Δεν νομίζω ότι μπορεί να υπάρξει απλούστερη απόδειξη.

Κώστας Βήττας.

Τα εμβαδά είναι μετά τα παραλληλόγραμμα και δεν είναι στην ύλη της Α' Λυκείου, Κώστα.

Ακόμα πιο εύκολα δηλαδή, στην ύλη του γυμνασίου.

[george visvikis]

(2) Απ’ όσα έκανα καταλήγω στο ότι με εργαλεία μέχρι και παραλληλόγραμμα δεν υπάρχει (;) λύση.

Η λύση όμως του Σωτήρη Λουρίδα πιο πάνω (#3) χρησιμοποιεί μόνο εμβαδόν παραλληλογράμμου και την ιδιότητα διχοτόμου γωνίας.

Δεν νομίζω ότι μπορεί να υπάρξει απλούστερη απόδειξη.

Κώστας Βήττας.

Τα εμβαδά είναι μετά τα παραλληλόγραμμα και δεν είναι στην ύλη της Α' Λυκείου, Κώστα.

Ακόμα πιο εύκολα δηλαδή, στην ύλη του γυμνασίου.

Αυτό είναι ένα από τα παράδοξα στα ελληνικά σχολεία. Η άσκηση αυτή μπορεί να λυθεί με ύλη γυμνασίου, αλλά όχι με ύλη Α' λυκείου. Το ίδιο συμβαίνει και με το Πυθαγόρειο θεώρημα. Οι μαθητές το γνωρίζουν από τη Β' γυμνασίου, αλλά απαγορεύεται να το χρησιμοποιήσουν στην Α' λυκείου

[vittasko]

... Αυτό είναι ένα από τα παράδοξα στα ελληνικά σχολεία. Η άσκηση αυτή μπορεί να λυθεί με ύλη γυμνασίου, αλλά όχι με ύλη Α' λυκείου. Το ίδιο συμβαίνει και με το Πυθαγόρειο θεώρημα. Οι μαθητές το γνωρίζουν από τη Β' γυμνασίου, αλλά απαγορεύεται να το χρησιμοποιήσουν στην Α' λυκείου

Γιώργο, η αλήθεια είναι ότι είμαι ξεκομμένος από τα σημερινά σχολικά δρώμενα.

Αντί για "παράδοξα" όμως, πιο ταιριαστός χαρακτηρισμός είναι "παράλογα" και δεν καταλαβαίνω τι σημαίνει "απαγορεύεται να χρησιμοποιήσουν" κάτι που είναι γνωστό από προηγούμενη Σχολική Τάξη.

Ως προς την ουσία του πράγματος τώρα, στην λύση του Σωτήρη πιο πάνω (#3), μιλάμε για εμβαδόν τριγώνου και είναι να απορεί κανείς για το ότι δεν προηγείται ( σαν γνώση ) των παραλληλογράμμων.

Κώστας Βήττας.

[george visvikis]

Αντί για "παράδοξα" όμως, πιο ταιριαστός χαρακτηρισμός είναι "παράλογα" και δεν καταλαβαίνω τι σημαίνει "απαγορεύεται να χρησιμοποιήσουν" κάτι που είναι γνωστό από προηγούμενη Σχολική Τάξη.

Κώστας Βήττας.

Κώστα, έχει συμβεί σ' ένα μαθητή μου πριν αρκετά χρόνια σε συγκεκριμένη άσκηση Α' Λυκείου του σχολικού βιβλίου. Η άσκηση ήταν η εξής:

Αν δύο ορθογώνια τρίγωνα έχουν μία κάθετη πλευρά ίση και η περίμετρος του ενός είναι ίση με την περίμετρο του άλλου, τότε τα τρίγωνα είναι ίσα.

Ο μαθητής μου την έλυσε χρησιμοποιώντας Πυθαγόρειο θεώρημα και απαλείφοντας την ίση πλευρά. Όταν του επεσήμανα
ότι υποτίθεται πως δεν γνωρίζει Π.Θ, δικαίως διαμαρτυρήθηκε λέγοντας "Μα αφού το έχω διδαχθεί". Δεν το συνέχισα. Την
άλλη μέρα όμως, που είπε τη λύση του στο σχολείο, ο καθηγητής του δεν την δέχθηκε. Αυτά όλα βέβαια, σε προφορικό
επίπεδο. Δεν ξέρω τι θα συνέβαινε αν ήταν γραπτή εξέταση.

[Henri van Aubel]

Αντί για "παράδοξα" όμως, πιο ταιριαστός χαρακτηρισμός είναι "παράλογα" και δεν καταλαβαίνω τι σημαίνει "απαγορεύεται να χρησιμοποιήσουν" κάτι που είναι γνωστό από προηγούμενη Σχολική Τάξη.

Κώστας Βήττας.

Κώστα, έχει συμβεί σ' ένα μαθητή μου πριν αρκετά χρόνια σε συγκεκριμένη άσκηση Α' Λυκείου του σχολικού βιβλίου. Η άσκηση ήταν η εξής:

Αν δύο ορθογώνια τρίγωνα έχουν μία κάθετη πλευρά ίση και η περίμετρος του ενός είναι ίση με την περίμετρο του άλλου, τότε τα τρίγωνα είναι ίσα.

Ο μαθητής μου την έλυσε χρησιμοποιώντας Πυθαγόρειο θεώρημα και απαλείφοντας την ίση πλευρά. Όταν του επεσήμανα
ότι υποτίθεται πως δεν γνωρίζει Π.Θ, δικαίως διαμαρτυρήθηκε λέγοντας "Μα αφού το έχω διδαχθεί". Δεν το συνέχισα. Την
άλλη μέρα όμως, που είπε τη λύση του στο σχολείο, ο καθηγητής του δεν την δέχθηκε. Αυτά όλα βέβαια, σε προφορικό
επίπεδο. Δεν ξέρω τι θα συνέβαινε αν ήταν γραπτή εξέταση.

Καθόλου σωστός ο καθηγητής. Είναι αυτονόητο ότι κάθε επιστημονικά τεκμηριωμένη λύση είναι αποδεκτή.

[orestisgotsis]

Περιττό

[Henri van Aubel]

[...] Αν βρεθεί κάποια λύση με θεωρία Γεωμετρίας Α λυκείου, με υλικά μέχρι παραλληλόγραμμα, θα με ενδιέφερε.

Από παραλληλόγραμμο σε...διχοτόμο!.png

Έστω το σημείο τομής των και . Στην ημιευθεία έστω τμήμα και στην τμήμα , τότε το

τρίγωνο είναι ισοσκελές με βάση . Αν το μέσο του θα είναι και , δηλαδή

μεσοκάθετη του , ακόμη . Αν σημεία του , ώστε , τότε τα τμήματα και

θα έχουν κοινό μέσο και συνεπώς . Αν το κέντρο του περιγεγραμμένου κύκλου, στο τρίγωνο , τότε η είναι

μεσοκάθετος του , αλλά και του . Από τα προηγούμενα και το ΠΓΠ έπεται ότι τα κίτρινα τρίγωνα είναι ίσα, οπότε ,

δηλαδή το ανήκει στη μεσοκάθετη του και άρα τα σημεία είναι συνευθειακά, δηλαδή διχοτόμος της .

Ορέστη, δεν θέλω να σε στεναχωρήσω αλλά η "λύση " είναι λανθασμένη .Μην το ψάχνεις με ύλη μέχρι τα παραλληλόγραμμα, έχει καταντήσει εμμονή αυτό το πράγμα.

[orestisgotsis]

Περιττό

[Henri van Aubel]

[...] Αν βρεθεί κάποια λύση με θεωρία Γεωμετρίας Α λυκείου, με υλικά μέχρι παραλληλόγραμμα, θα με ενδιέφερε.

Από παραλληλόγραμμο σε...διχοτόμο!.png

Έστω το σημείο τομής των και . Στην ημιευθεία έστω τμήμα και στην τμήμα , τότε το

τρίγωνο είναι ισοσκελές με βάση . Αν το μέσο του θα είναι και , δηλαδή

μεσοκάθετη του , ακόμη . Αν σημεία του , ώστε , τότε τα τμήματα και

θα έχουν κοινό μέσο και συνεπώς . Αν το κέντρο του περιγεγραμμένου κύκλου, στο τρίγωνο , τότε η είναι

μεσοκάθετος του , αλλά και του . Από τα προηγούμενα και το ΠΓΠ έπεται ότι τα κίτρινα τρίγωνα είναι ίσα, οπότε ,

δηλαδή το ανήκει στη μεσοκάθετη του και άρα τα σημεία είναι συνευθειακά, δηλαδή διχοτόμος της .

Ορέστη, δεν θέλω να σε στεναχωρήσω αλλά η "λύση " είναι λανθασμένη .Μην το ψάχνεις με ύλη μέχρι τα παραλληλόγραμμα, έχει καταντήσει εμμονή αυτό το πράγμα.

Που βρίσκεται το λάθος ;

Θεωρείς ότι KC μεσοκάθετος του τμήματος PQ .Το Κ πράγματι ανήκει στη μεσοκάθετο του PQ αλλά το C δεν μπορείς να ξέρεις αν ανήκει στη μεσοκάθετο του PQ.
Έχεις θεωρήσει ως δεδομένο το αποδεικτεο. Ας με επιβεβαιώσει κάποιος.