Εύρεση σημείου στον χώρο

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #1

Δίνονται $A_{1},A_{2},....A_{n},n\geq 2$

σημεία στον χώρο και $a_{1},a_{2},...a_{n}\in \mathbb{R}$

με $\sum_{i=1}^{n}a_{i}> 0$

Να προσδιορισθεί σημείο του χώρου

ώστε το

$\sum_{i=1}^{n}a_{i}MA_{i}^{2}$

να γίνεται ελάχιστο.

#2

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε:Δίνονται $A_{1},A_{2},....A_{n},n\geq 2$

σημεία στον χώρο και $a_{1},a_{2},...a_{n}\in \mathbb{R}$

με $\sum_{i=1}^{n}a_{i}> 0$

Να προσδιορισθεί σημείο του χώρου ώστε το

$\sum_{i=1}^{n}a_{i}MA_{i}^{2}$

να γίνεται ελάχιστο.

Γράφω $c = \sum_{i=1}^{n}a_{i}> 0$ . Με διανύσματα, ας τα ονομάσουμε $\vec {M}, \vec {A_1},..., \vec {A_n}$ . Τότε η δοθείσα παράσταση είναι

$\sum_{i=1}^{n}a_{i}MA_{i}^{2} = \sum_{i=1}^{n}a_{i}(\vec {M} - \vec {A_{i}}) \cdot (\vec {M} - \vec {A_{i}})=$

$=c \vec {M}\cdot \vec {M} -2\vec {M}\cdot \left ( \sum_{i=1}^{n}a_{i} \vec {A_{i}} \right ) +\sum_{i=1}^{n}a_{i} \vec {A_{i}}\cdot \vec {A_{i}}$

$= \left (\sqrt {c } \vec {M} - \frac {1}{\sqrt c} \sum_{i=1}^{n}a_{i} \vec {A_{i}}\right )^2 +\sum_{i=1}^{n}a_{i} \vec {A_{i}}\cdot \vec {A_{i}}- \frac {1}{ c} \left ( \sum_{i=1}^{n}a_{i} \vec {A_{i}}\right)^2$

O πρώτος προσθετέος είναι ο μόνος που περιέχει το

, και ισούται $\displaystyle{ \left | \left |\sqrt {c } \vec {M} - \frac {1}{\sqrt c} \sum_{i=1}^{n}a_{i} \vec {A_{i}}\right | \right |^2} \ge 0$ . Άρα το ελάχιστο το λαμβάνουμε όταν ο όρος αυτός μηδενίζεται, δηλαδή όταν
$\displaystyle{ \vec {M} = \frac {1}{c} \sum_{i=1}^{n}a_{i} \vec {A_{i}}}$ .

Άλλος τρόπος (μόνο τα βήματα). Αν θέσουμε M(x,y,z)

και

, το δοθέν είναι το

$\sum_{i=1}^{n}a_{i}((x-p_i)^2 + (y-q_i)^2+(z-r_i)^2)$

Παραγωγίζοντας μερικώς ως προς x,y,z

και θέτοντας ίσο με το

, θα βρούμε

$2\sum_{i=1}^{n}a_{i}(x-p_i)=0$ και όμοια τα άλλα δύο.

Λύνοντας βρίσκουμε τα x,y,z

(ίδια με τα παραπάνω) και με χρήση κριτηρίου δεύτερης παραγώγου διαπιστώνουμε ότι έχουμε ελάχιστο.

Edit: Διόρθωσα τυπογραφικές μικροαβλεψίες.

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #3

Πολύ ωραία Μιχάλη.

Κάτι τέτοιο είχα στο μυαλό μου. (την πρώτη λύση που είναι και επιπέδου Λυκείου)

Να σημειώσω ότι το

είναι το κέντρο μάζης των σημείων με μάζες $a_{1},a_{2},....a_{n}$
(επιτρέπουμε και αρνητικές μάζες).

Ειναι φανερό ότι αν $\sum_{i=1}^{n}a_{i}< 0$ δεν υπάρχει ελάχιστο.

Ενώ αν $\sum_{i=1}^{n}a_{i}= 0$ δεν το έχω ψάξει.

Εύρεση σημείου στον χώρο

Εύρεση σημείου στον χώρο

Re: Εύρεση σημείου στον χώρο

Re: Εύρεση σημείου στον χώρο

Μέλη σε σύνδεση