ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΟΣ- ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΟΣ - ΑΡΜΟΝΙΚΟΣ ΜΕΣΟΣ
Συντονιστής: chris_gatos
- Καρδαμίτσης Σπύρος
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 2338
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 11:14 pm
- Επικοινωνία:
ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΟΣ- ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΟΣ - ΑΡΜΟΝΙΚΟΣ ΜΕΣΟΣ
Αν είναι θετικοί και
να αποδείξετε ότι:
1.
2
Κλασσικό θέμα με τον αριθμητικό- γεωμετρικό και αρμονικό μέσο.
να αποδείξετε ότι:
1.
2
Κλασσικό θέμα με τον αριθμητικό- γεωμετρικό και αρμονικό μέσο.
Καρδαμίτσης Σπύρος
- matha
- Γενικός Συντονιστής
- Δημοσιεύσεις: 6423
- Εγγραφή: Παρ Μάιος 21, 2010 7:40 pm
- Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη
Re: ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΟΣ- ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΟΣ - ΑΡΜΟΝΙΚΟΣ ΜΕΣΟΣ
Η λέξη κλασικό ίσως είναι λίγη για να περιγράψει το πόσο κλασική είναι αυτή η ανισότητα. Και δεδομένου ότι την έχω χρησιμοποιήσει ''άπειρες'' φορές, νιώθω υποχρεωμένος να παραθέσω μία απόδειξη. Επιλέγω μία σύντομη, η οποία (αν θυμάμαι καλά) οφείλεται στον George Pólya. Θυμάμαι ακόμα, να έχω διαβάσει ότι την απόδειξη αυτή την είδε στον ''ύπνο'' του σε ένα από τα μαθηματικά του όνειρα.Καρδαμίτσης Σπύρος έγραψε:Αν είναι θετικοί και
να αποδείξετε ότι:
1.
2
Κλασσικό θέμα με τον αριθμητικό- γεωμετρικό και αρμονικό μέσο.
Ξεκινάμε από την γνωστή ανισότητα , με την ισότητα να ισχύει αν και μόνο αν
εφαρμόζουμε την παραπάνω ανισότητα για τους αριθμούς , οπότε λαμβάνουμε
,
,
...
.
Με πολλαπλασιασμό των παραπάνω σχέσεων προκύπτει
Για την απόδειξη της , αρκεί να εφαρμόσουμε την ανισότητα στους αριθμούς
Άξια ιδιαίτερης μνείας είναι η απόδειξη που έδωσε ο Cauchy εφαρμόζοντας την ''μπρος πίσω'' επαγωγική μέθοδο.
Άλλη απόδειξη χρησιμοποιεί την ανισότητα Jensen (η οποία αποδεικνύεται με την ίδια ''μπρος πίσω'' επαγωγική μέθοδο).
Βασικές βιβλιογραφικές αναφορές:
Inequalities, G.Hardy, E. Littlewood, G. Pólya, Cambridge Mathematical Library,
Inequalities, E.F. Beckenbach, R. Bellman, Springer Verlag,
Handbook of Means and their Inequalities, P.S. Bullen, Kluwer Academic Publishers.
τελευταία επεξεργασία από matha σε Τετ Οκτ 27, 2010 1:53 am, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.
Μάγκος Θάνος
- A.Spyridakis
- Δημοσιεύσεις: 495
- Εγγραφή: Δευ Δεκ 22, 2008 11:47 am
- Τοποθεσία: Εδώ
Re: ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΟΣ- ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΟΣ - ΑΡΜΟΝΙΚΟΣ ΜΕΣΟΣ
matha έγραψε: Ξεκινάμε από την γνωστή ανισότητα , με την ισότητα να ισχύει αν και μόνο αν x=0
Re: ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΟΣ- ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΟΣ - ΑΡΜΟΝΙΚΟΣ ΜΕΣΟΣ
Υπάρχει απόδειξη για το 2 ??
τελευταία επεξεργασία από jimgabal σε Σάβ Νοέμ 21, 2020 4:45 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 15762
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am
Re: ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΟΣ- ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΟΣ - ΑΡΜΟΝΙΚΟΣ ΜΕΣΟΣ
Καλώς ήλθες στο mathematica.
Γράψε το ποστ σου σε latex όπως απαιτούν οι κανονισμοί μας (τους διάβασες;) και θα σου απαντήσω.
Re: ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΟΣ- ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΟΣ - ΑΡΜΟΝΙΚΟΣ ΜΕΣΟΣ
Θα μπορούσατε να με βοηθήσετε στην απόδειξη τουMihalis_Lambrou έγραψε: ↑Παρ Νοέμ 20, 2020 8:36 pmΚαλώς ήλθες στο mathematica.
Γράψε το ποστ σου σε latex όπως απαιτούν οι κανονισμοί μας (τους διάβασες;) και θα σου απαντήσω.
2
-
- Δημοσιεύσεις: 3600
- Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
- Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ
Re: ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΟΣ- ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΟΣ - ΑΡΜΟΝΙΚΟΣ ΜΕΣΟΣ
Δεν ισχύει.jimgabal έγραψε: ↑Σάβ Νοέμ 21, 2020 4:43 pmΘα μπορούσατε να με βοηθήσετε στην απόδειξη τουMihalis_Lambrou έγραψε: ↑Παρ Νοέμ 20, 2020 8:36 pmΚαλώς ήλθες στο mathematica.
Γράψε το ποστ σου σε latex όπως απαιτούν οι κανονισμοί μας (τους διάβασες;) και θα σου απαντήσω.
2
Αν π.χ πάρεις τα έτσι ώστε να είναι τότε αν ισχυε θα ήταν
που αντιβαίνει στο 1) που φυσικά ισχύει.
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 15762
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am
Re: ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΟΣ- ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΟΣ - ΑΡΜΟΝΙΚΟΣ ΜΕΣΟΣ
H ανισότητα του αρχικού ποστ έχει τυπογραφικό σφάλμα. Παρακάτω σου γράφω την σωστή, αλλά ας πάρουμε τα πράγματα από την αρχή.
α) Δείξε με απλό αριθμητικό παράδειγμα ότι η είναι εσφαλμένη.
β) Η σωστή ανισότητα είναι η
Edit: Με πρόλαβε ο Σταύρος. Το αφήνω αλλά ας προσθέσω ότι καλό είναι ο jimgabal να μας δωσει παραδείγματα για την εσφαλμένη ανισότητα.
Re: ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΟΣ- ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΟΣ - ΑΡΜΟΝΙΚΟΣ ΜΕΣΟΣ
Ενα παράδειγμα λοιπόν που αποδεικνύει το λανθασμένο του ερωτήματος 2 ειναι η τριάδα των αριθμών
0,1-0,2-0,3. Αυτοί έχουν :
Α=0,2 G=0,181 H=6
Tότε
Aρα
Aντιθέτως με τους αριθμούς 1,2,3,όπου Α=2 G=1,81 H=1,83 και ,όντως ισχύει
Επιπλέον διαπιστώνω ότι με αυτά τα παραδείγματα ισχύει και στις δύο περιπτώσεις ισχύει :
και όχι
To ερώτημα μου εξακολουθεί να παραμένει με έναν περιορισμό...!!
Πως θα αποδείξουμε ότι
για G>1
0,1-0,2-0,3. Αυτοί έχουν :
Α=0,2 G=0,181 H=6
Tότε
Aρα
Aντιθέτως με τους αριθμούς 1,2,3,όπου Α=2 G=1,81 H=1,83 και ,όντως ισχύει
Επιπλέον διαπιστώνω ότι με αυτά τα παραδείγματα ισχύει και στις δύο περιπτώσεις ισχύει :
και όχι
To ερώτημα μου εξακολουθεί να παραμένει με έναν περιορισμό...!!
Πως θα αποδείξουμε ότι
για G>1
-
- Δημοσιεύσεις: 3600
- Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
- Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ
Re: ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΟΣ- ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΟΣ - ΑΡΜΟΝΙΚΟΣ ΜΕΣΟΣ
ΤοMihalis_Lambrou έγραψε: ↑Σάβ Νοέμ 21, 2020 5:42 pmH ανισότητα του αρχικού ποστ έχει τυπογραφικό σφάλμα. Παρακάτω σου γράφω την σωστή, αλλά ας πάρουμε τα πράγματα από την αρχή.
α) Δείξε με απλό αριθμητικό παράδειγμα ότι η είναι εσφαλμένη.
β) Η σωστή ανισότητα είναι η
Edit: Με πρόλαβε ο Σταύρος. Το αφήνω αλλά ας προσθέσω ότι καλό είναι ο jimgabal να μας δωσει παραδείγματα για την εσφαλμένη ανισότητα.
δεν νομίζω ότι ισχύει.
Υποθέτω ότι το σωστό είναι
και όχι αυτό που έχει γραφεί στην αρχική ανάρτηση.
Για τα
γίνεται
που δεν ισχύει.
Αλλά και έτσι όπως είναι το στην αρχική ανάρτηση δεν ισχύει.
αρκεί να πάρουμε
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 15762
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am
Re: ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΟΣ- ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΟΣ - ΑΡΜΟΝΙΚΟΣ ΜΕΣΟΣ
Σταύρο έχεις δίκιο αλλά διορθώνεται η κατάσταση. Με παρέσυραν τα πολλά τυπογραφικά σφάλματα στο αρχικό ποστ.ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε: ↑Κυρ Νοέμ 22, 2020 1:42 am
δεν νομίζω ότι ισχύει.
Υποθέτω ότι το σωστό είναι
και όχι αυτό που έχει γραφεί στην αρχική ανάρτηση.
Ας πάρω τα πράγματα από την αρχή. Σίγουρα το που γράφεις είναι το σωστό. Το αρχικό ποστ έχει τυπογραφικό σφάλμα (και) σε
αυτό το σημείο, και εννοείται o αρμονικός μέσος.
Τώρα, για αριθμούς η σωστή ανισότητα (και μάλιστα επαυξημένη από τα δεξιά) είναι η
(ίσον ανισότητα από άρθρο του Sandor, Theory of Means and their Inequalities, βλέπε σ. 23).
Προσοχή, για , είναι μεν σωστή αυτή που έγραψα, , ΑΛΛΑ ΜΟΝΟ για δύο αριθμούς που όμως σε αυτή την περίπτωση σκοτώνεται το αποτέλεσμα αφού ισχύει .
Re: ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΟΣ- ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΟΣ - ΑΡΜΟΝΙΚΟΣ ΜΕΣΟΣ
Εγώ εξακολουθώ να επιμένω...
Διαπιστώνω με παραδείγματα ότι
για G>1 ισχύει
Υπάρχει όμως απόδειξη...??
Διαπιστώνω με παραδείγματα ότι
για G>1 ισχύει
Υπάρχει όμως απόδειξη...??
- gbaloglou
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 3341
- Εγγραφή: Παρ Φεβ 27, 2009 10:24 pm
- Τοποθεσία: Θεσσαλονικη
- Επικοινωνία:
Re: ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΟΣ- ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΟΣ - ΑΡΜΟΝΙΚΟΣ ΜΕΣΟΣ
Δεν υπάρχει απόδειξη ... επειδή ΔΕΝ ισχύει η ανισότητα (ούτε με την πρόσθετη υπόθεση )!
[Πράγματι, για η ανισότητα ανάγεται στην ... που ισχύει για ΚΑΙ ... όχι όμως και για ...]
Γιώργος Μπαλόγλου -- κρυσταλλογράφω άρα υπάρχω
Ὁρᾷς, τὸ κάλλος ὅσσον ἐστὶ τῆς λίθου, ἐν ταῖς ἀτάκτοις τῶν φλεβῶν εὐταξίαις. -- Παλατινή Ανθολογία 9.695 -- Ιδού του πετραδιού η άμετρη ομορφιά, μεσ' των φλεβών τις άναρχες πειθαρχίες.
Ὁρᾷς, τὸ κάλλος ὅσσον ἐστὶ τῆς λίθου, ἐν ταῖς ἀτάκτοις τῶν φλεβῶν εὐταξίαις. -- Παλατινή Ανθολογία 9.695 -- Ιδού του πετραδιού η άμετρη ομορφιά, μεσ' των φλεβών τις άναρχες πειθαρχίες.
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 15762
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am
Re: ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΟΣ- ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΟΣ - ΑΡΜΟΝΙΚΟΣ ΜΕΣΟΣ
Περίεργο που επιμένεις αφού είναι τόσο απλό να φτιάξεις παραδείγματα για το αντίθετο.
Αυτό που σoυ γράφει ο Γιώργος τα λέει όλα
Αν θέλεις χειροπιαστό αριθμητικό παράδειγμα, πάρε
και . Εδώ , οπότε πλην όμως πάνω από . Δηλαδή, όχι μόνο δεν ισχύει αλλά είναι .
Άσκηση για σένα: Φτιάξε παράδειγμα με αλλά
Re: ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΟΣ- ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΟΣ - ΑΡΜΟΝΙΚΟΣ ΜΕΣΟΣ
Ωραία...!!Eυχαριστω!!
Να το θέσω αλλιώς,γιατι προφανως με μόνο περιορισμό G>1,όντως υπάρχει πρόβλημα.
Αν ο περιορισμός όμως είναι
με
τότε είναι σίγουρα
Αυτό με βασανίζει αυτές τις μέρες...
Να το θέσω αλλιώς,γιατι προφανως με μόνο περιορισμό G>1,όντως υπάρχει πρόβλημα.
Αν ο περιορισμός όμως είναι
με
τότε είναι σίγουρα
Αυτό με βασανίζει αυτές τις μέρες...
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 15762
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am
Re: ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΟΣ- ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΟΣ - ΑΡΜΟΝΙΚΟΣ ΜΕΣΟΣ
Πάλι τα ίδια, ιδίως αν έχεις κομπιουτεράκι.
Θα επαναλάβω κάτι που είπα ήδη
.Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑Κυρ Νοέμ 22, 2020 11:10 pmΠερίεργο που επιμένεις αφού είναι τόσο απλό να φτιάξεις παραδείγματα για το αντίθετο.
Για να κλείνει, πάρε και οπότε και .
(Αν θελεις τα να είναι γνήσια μεγαλύτερα του , στην ουσία δεν αλλάζει τίποτα. Απλά αντικατάστησε τα με . Τώρα οι παίρνουν ουσιαστικά τις ίδιες τιμές που έγραψα, τουλάχιστον με την ακρίβεια δεκαδικού που ανέφερα).
ΙΣΧΥΡΗ ΣΥΣΤΑΣΤΗ, να σκέπτεσαι περισσότερο το θέμα που σε απασχολεί, πριν ρωτήσεις. Δεν είναι κακό να ρωτάμε, το αντίθετο, αλλά
να ρωτάμε πριν σκεφτούμε ουσιαστικά, είναι πρόβλημα.
- gbaloglou
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 3341
- Εγγραφή: Παρ Φεβ 27, 2009 10:24 pm
- Τοποθεσία: Θεσσαλονικη
- Επικοινωνία:
Re: ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΟΣ- ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΟΣ - ΑΡΜΟΝΙΚΟΣ ΜΕΣΟΣ
Αν δεν μπορείς να βρεις ούτε αντιπαράδειγμα (όπως του Μιχάλη Λάμπρου) ούτε απόδειξη (που μπορεί και να μην υπάρχει) ... αυτό σημαίνει ότι το πρόβλημα είναι δύσκολο (για σένα), οπότε δεν είναι καθόλου κακή ιδέα να δεις τι γίνεται για μικρά . Για το έκανα ήδη, η ανισότητα ανάγεται στην , που όντως ισχύει για , : μπορείς να δεις γιατί και πως; Για , σε ποια ανισότητα (με , , ) ανάγεται η , και τι μπορούμε να πούμε γι αυτήν;
Γιώργος Μπαλόγλου -- κρυσταλλογράφω άρα υπάρχω
Ὁρᾷς, τὸ κάλλος ὅσσον ἐστὶ τῆς λίθου, ἐν ταῖς ἀτάκτοις τῶν φλεβῶν εὐταξίαις. -- Παλατινή Ανθολογία 9.695 -- Ιδού του πετραδιού η άμετρη ομορφιά, μεσ' των φλεβών τις άναρχες πειθαρχίες.
Ὁρᾷς, τὸ κάλλος ὅσσον ἐστὶ τῆς λίθου, ἐν ταῖς ἀτάκτοις τῶν φλεβῶν εὐταξίαις. -- Παλατινή Ανθολογία 9.695 -- Ιδού του πετραδιού η άμετρη ομορφιά, μεσ' των φλεβών τις άναρχες πειθαρχίες.
Re: ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΟΣ- ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΟΣ - ΑΡΜΟΝΙΚΟΣ ΜΕΣΟΣ
Να μια αντίστροφη ΑΜ-GM.
Αν θετικοί πραγματικοί σε αύξουσα σειρά και οι
είναι σε φθίνουσα σειρά, τότε
Αν θετικοί πραγματικοί σε αύξουσα σειρά και οι
είναι σε φθίνουσα σειρά, τότε
Σιλουανός Μπραζιτίκος
Re: ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΟΣ- ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΟΣ - ΑΡΜΟΝΙΚΟΣ ΜΕΣΟΣ
Θεωρώ ότι μόνο ο Κυριος Καρδαμίτσης μπορεί να δώσει σαφή απάντηση.
Μπορεί μεν να υπάρχει τυπογραφικό λάθος όσον αφορά το Η,
το ερώτημα 2 όμως δεν έχει λάθος απλά λείπει ο περιορισμός.
Μπορεί μεν να υπάρχει τυπογραφικό λάθος όσον αφορά το Η,
το ερώτημα 2 όμως δεν έχει λάθος απλά λείπει ο περιορισμός.
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες