Συνέχεια και μονοτονία

Συντονιστής: chris_gatos

s.kap
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2455
Εγγραφή: Τρί Δεκ 08, 2009 6:11 pm
Τοποθεσία: Ιωάννινα

Συνέχεια και μονοτονία

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από s.kap » Δευ Φεβ 14, 2011 8:29 pm

Έστω f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} συνάρτηση συνεχής με την ιδιότητα (f\circ f)(x)=x+sinx+a, \forall x \in \mathbb{R}

Αποδείξτε ότι :

1) Αν |a|>1 η f είναι γνησίως αύξουσα στο \mathbb{R}

2) Αν a=0 και f(0) \neq 0, η f είναι γνησίως φθίνουσα στο \mathbb{R}


Σπύρος Καπελλίδης
Άβαταρ μέλους
R BORIS
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2180
Εγγραφή: Σάβ Ιαν 03, 2009 8:08 am
Επικοινωνία:

Re: Συνέχεια και μονοτονία

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από R BORIS » Τρί Φεβ 15, 2011 7:51 am

H \displaystyle{ f } είναι 1-1 και συνεπώς γν μονότονη λόγω συνέχειας
α) Αν \displaystyle{a=0} όπου x το f(x) στην αρχική δίνει\displaystyle{ f(x+sinx)=f(x)+sinf(x)} άρα \displaystyle{sinf(0)=0} και από την αρχική \displaystyle{f(f(0))=0} οποτε αν η \displaystyle{f} ήταν αυξουσα πχ για \displaystyle{f(0)>0\Rightarrow f(f(0))>f(0) \Rightarrow 0>f(0)} αντίφαση
β) Αν \displaystyle{|a|>1\Rightarrow f(x)-x } διατηρέι πρόσημο πχ \displaystyle{f(x)>x,(a>1)} αν ήταν φθίνουσα τότε \displaystyle{f(f(x))<f(x)} αλλά για χ = f(x) η προηγούμενη δίνει \displaystyle{f(f(x))>f(x)} αντίφαση αρα f γν αύξουσα
(TO 1-1 βγαίνει και αν αποδείξουμε με παραγώγους οτι η x+sinx+a είναι γνήσια αύξουυσα...)


s.kap
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2455
Εγγραφή: Τρί Δεκ 08, 2009 6:11 pm
Τοποθεσία: Ιωάννινα

Re: Συνέχεια και μονοτονία

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από s.kap » Τρί Φεβ 15, 2011 1:56 pm

Αλλιώς:

Όπως έγραψε και ο Ροδόλφος η f εύκολα αποδεικνύεται 1-1 (με την υπόδειξη του Ροδόλφου).

Άρα η f, λόγω και της συνέχειας είναι γνησίως μονότονη

Για το α) Με απαγωγή σε άτοπο. Αν η f είναι γνησίως φθίνουσα, τότε υπάρχει x_0 \in \mathbb{R} ώστε

f(x_0)=x_0

Θέτοντας στην αρχική όπου x το x_0 έχουμε x_0=x_0+sinx_0+a \Rightarrow sinx_0=-a<-1, άτοπο.

Για το β) Αν στη δοθείσα θέσουμε όπου a=0 έχουμε f(f(x))=x+sinx, \forall x \in \mathbb{R}

Αν η συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα, τότε

f(0) \neq 0 \Rightarrow f(0)>0 \vee f(0)<0

\Rightarrow 0=f(f(0))>f(0)>0 \vee 0=f(f(0))<f(0)<0, άτοπο


Σπύρος Καπελλίδης
Απάντηση

Επιστροφή σε “Προτεινόμενα Θέματα Μαθηματικών”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης