Συνέχεια και μονοτονία

#1

Έστω $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ συνάρτηση συνεχής με την ιδιότητα $(f\circ f)(x)=x+sinx+a, \forall x \in \mathbb{R}$

Αποδείξτε ότι :

1) Αν |a|>1

η

είναι γνησίως αύξουσα στο $\mathbb{R}$

2) Αν a=0

και $f(0) \neq 0$ , η

είναι γνησίως φθίνουσα στο $\mathbb{R}$

#2

H $\displaystyle{ f }$ είναι 1-1 και συνεπώς γν μονότονη λόγω συνέχειας
α) Αν $\displaystyle{a=0}$ όπου x το f(x) στην αρχική δίνει $\displaystyle{ f(x+sinx)=f(x)+sinf(x)}$ άρα $\displaystyle{sinf(0)=0}$ και από την αρχική $\displaystyle{f(f(0))=0}$ οποτε αν η $\displaystyle{f}$ ήταν αυξουσα πχ για $\displaystyle{f(0)>0\Rightarrow f(f(0))>f(0) \Rightarrow 0>f(0)}$ αντίφαση
β) Αν $\displaystyle{|a|>1\Rightarrow f(x)-x }$ διατηρέι πρόσημο πχ $\displaystyle{f(x)>x,(a>1)}$ αν ήταν φθίνουσα τότε $\displaystyle{f(f(x))<f(x)}$ αλλά για χ = f(x) η προηγούμενη δίνει $\displaystyle{f(f(x))>f(x)}$ αντίφαση αρα f γν αύξουσα
(TO 1-1 βγαίνει και αν αποδείξουμε με παραγώγους οτι η x+sinx+a είναι γνήσια αύξουυσα...)

#3

Αλλιώς:

Όπως έγραψε και ο Ροδόλφος η

εύκολα αποδεικνύεται 1-1 (με την υπόδειξη του Ροδόλφου).

Άρα η

, λόγω και της συνέχειας είναι γνησίως μονότονη

Για το α) Με απαγωγή σε άτοπο. Αν η

είναι γνησίως φθίνουσα, τότε υπάρχει $x_0 \in \mathbb{R}$ ώστε

f(x_0)=x_0

Θέτοντας στην αρχική όπου

το

έχουμε $x_0=x_0+sinx_0+a \Rightarrow sinx_0=-a<-1$ , άτοπο.

Για το β) Αν στη δοθείσα θέσουμε όπου a=0

έχουμε $f(f(x))=x+sinx, \forall x \in \mathbb{R}$

Αν η συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα, τότε

$f(0) \neq 0 \Rightarrow f(0)>0 \vee f(0)<0$

$\Rightarrow 0=f(f(0))>f(0)>0 \vee 0=f(f(0))<f(0)<0$ , άτοπο

Συνέχεια και μονοτονία

Συνέχεια και μονοτονία

Re: Συνέχεια και μονοτονία

Re: Συνέχεια και μονοτονία

Μέλη σε σύνδεση