Συνεχής συνάρτηση

Συντονιστής: chris_gatos

Άβαταρ μέλους
chris_gatos
Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 6823
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 9:03 pm
Τοποθεσία: Πειραιάς

Συνεχής συνάρτηση

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από chris_gatos » Παρ Φεβ 18, 2011 5:44 pm

Ένα θέμα γνωστό,αλλά η..έκδοση αυτή του...δίνει μία άλλη γοητεία!
Έστω \displaystyle{ 
f 
}
μία συνεχής συνάρτηση, ορισμένη στο \displaystyle{ 
\left[ {0,1} \right] 
}.Αν υποθέσουμε ότι η \displaystyle{ 
f 
} δέχεται μόνο ρητές τιμές και πως \displaystyle{ 
f(x) = \frac{1}{2} 
} όταν \displaystyle{ 
x = \frac{1}{2} 
}.Να αποδείξετε ότι \displaystyle{ 
f(x) = \frac{1}{2},\forall x \in \left[ {0,1} \right] 
}
R.Courant-J.Fritz:Introduction to calculus and analysis


Χρήστος Κυριαζής
s.kap
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2455
Εγγραφή: Τρί Δεκ 08, 2009 6:11 pm
Τοποθεσία: Ιωάννινα

Re: Συνεχής συνάρτηση

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από s.kap » Παρ Φεβ 18, 2011 7:14 pm

Είναι πράγματι γνωστό.

Αν η f δεν είναι σταθερή, τότε f([0,1])=\Delta=διάστημα, άτοπο, γιατί δεν υπάρχει διάστημα υποσύνολο του συνόλου των ρητών.

Άρα f σταθερή και με το δεδομένο που έχουμε f(x)= \frac {1}{2}, \forall x \in [0,1]


Σπύρος Καπελλίδης
Άβαταρ μέλους
rek2
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1816
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 12:13 am

Re: Συνεχής συνάρτηση

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από rek2 » Παρ Φεβ 18, 2011 10:57 pm

ΑΣΕΠ: Το singleton {α} είναι διάστημα ;


Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 8262
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

Re: Συνεχής συνάρτηση

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Παρ Φεβ 18, 2011 11:19 pm

rek2 έγραψε:ΑΣΕΠ: Το singleton {α} είναι διάστημα ;
Αν και είναι θέμα ορισμού εγώ προτιμώ να το θεωρώ σαν διάστημα. Αυτό νομίζω κάνει και η πλειοψηφία των μαθηματικών βιβλίων. Τώρα αν υπάρχει συγκεκριμένη οδηγία για τον ΑΣΕΠ δεν γνωρίζω.


Άβαταρ μέλους
rek2
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1816
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 12:13 am

Re: Συνεχής συνάρτηση

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από rek2 » Παρ Φεβ 18, 2011 11:51 pm

Demetres έγραψε:
rek2 έγραψε:ΑΣΕΠ: Το singleton {α} είναι διάστημα ;
Αν και είναι θέμα ορισμού εγώ προτιμώ να το θεωρώ σαν διάστημα. Αυτό νομίζω κάνει και η πλειοψηφία των μαθηματικών βιβλίων. Τώρα αν υπάρχει συγκεκριμένη οδηγία για τον ΑΣΕΠ δεν γνωρίζω.

Δημήτρη, μαζί σου είμαι.

Το σχολικό βιβλίο ορίζει τα διαστήματα [α, β], (α, β] κ.λπ. χωρίς να αναφέρει α<β, επομένως επιτρέπει στο [α, α] και στο κενό σύνολο να είναι διαστήματα.

Τέλος πάντων, έκανα την ερώτηση, σκεπτόμενος την απόδειξη του Σπύρου γιατί, αν δεχτούμε το διάστημα [α, α], τότε θέλει τροποποίηση, χωρίς αυτό να σημαίνει ότι υπάρχει σφάλμα στην λογική της.


s.kap
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2455
Εγγραφή: Τρί Δεκ 08, 2009 6:11 pm
Τοποθεσία: Ιωάννινα

Re: Συνεχής συνάρτηση

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από s.kap » Σάβ Φεβ 19, 2011 12:09 am

Κώστα, ο προβληματισμός σου είναι σωστός.
Είναι θέμα ορισμού. Μπορούμε να ορίσουμε τα μονοσύνολα ως διαστήματα (τετριμμένα διαστήματα)
Αλλά το σχολικό βιβλίο (και κατά συνέπεια και ο ΑΣΕΠ), παρότι δεν ξεκαθαρίζει το ότι το διάστημα για να ορίζεται πρέπει να έχει διακεκριμμένα άκρα, έμμεσως το εννοεί.
Αυτό φαίνεται και στη διατύπωση μιας βασικής πρότασης στις συνεχείς συναρτήσεις:
"Η εικόνα ενός διαστήματος μέσω μιας συνεχούς και μη σταθερής συνάρτησης είναι διάστημα"
Φιλικά


Σπύρος Καπελλίδης
Απάντηση

Επιστροφή σε “Προτεινόμενα Θέματα Μαθηματικών”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες