Σελίδα 1 από 1

Ύπαρξη (;) πλευρικού ορίου

Δημοσιεύτηκε: Τρί Φεβ 22, 2011 2:43 pm
από mathxl
Υπάρχει το όριο
\displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f\left( x \right)}
με \displaystyle{f\left( x \right) = \frac{1}{{{x^2}}}\sin \frac{1}{x}}

Re: Ύπαρξη (;) πλευρικού ορίου

Δημοσιεύτηκε: Τρί Φεβ 22, 2011 2:53 pm
από Κοτρώνης Αναστάσιος
mathxl έγραψε:Υπάρχει το όριο
\displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f\left( x \right)}
με \displaystyle{f\left( x \right) = \frac{1}{{{x^2}}}\sin \frac{1}{x}}
Όχι f(1/(2n\pi))=0\to0 και f(1/(2n\pi+\pi/2))=(2n\pi+\pi/2)^2\to+\infty.

Re: Ύπαρξη (;) πλευρικού ορίου

Δημοσιεύτηκε: Τρί Φεβ 22, 2011 2:56 pm
από mathxl
Έχεις καβαντζομένο έναν διορισμό :)

Re: Ύπαρξη (;) πλευρικού ορίου

Δημοσιεύτηκε: Τρί Φεβ 22, 2011 2:57 pm
από chris_gatos
Είναι:
\displaystyle{ 
\mathop {\lim }\limits_{x \to 0^ +  } \frac{1}{{x^2 }}\sin \left( {\frac{1}{x}} \right)\mathop  = \limits^{y = \frac{1}{x}} \mathop {\lim }\limits_{y \to  + \infty } y^2 \sin y 
}
Αν τώρα πάρω τις υποακολουθιες:
\displaystyle{ 
\begin{array}{l} 
 y_n^1  = 2n\pi  + \frac{\pi }{2} \\  
 y_n^2  = 2n\pi  + \frac{{3\pi }}{2} \\  
 \end{array} 
}
οι οποίες τείνουν στο +οο βλέπω πως δίνουν +οο και -οο αντιστοίχως.
Αρα το όριο δεν υπάρχει.

Re: Ύπαρξη (;) πλευρικού ορίου

Δημοσιεύτηκε: Τρί Φεβ 22, 2011 3:04 pm
από Κοτρώνης Αναστάσιος
mathxl έγραψε:Έχεις καβαντζομένο έναν διορισμό :)
Δε βάζουν "όρια με ολοκληρώματα" εκεί..... :santalogo:

Re: Ύπαρξη (;) πλευρικού ορίου

Δημοσιεύτηκε: Τρί Φεβ 22, 2011 4:19 pm
από S.E.Louridas
Μία προσπάθεια χωρίς ακολουθίες:
\left( {\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{1} 
{{x^2 }} = 0} \right) \wedge (\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } x^2 \sin x = \ell  \in \mathbb{R}) \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \sin x = 0\,(*), άτοπο.
\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } x^2 \sin x =  + \infty  \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \left( {\pi  + x} \right)^2 \sin (\pi  + x) =  + \infty  \Rightarrow  - \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \left( {\frac{{\pi  + x}}{x}} \right)^2 x^2 \sin x =  + \infty  \Rightarrow-\infty=+\infty,
άτοπο. Όμοια αν
\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } x^2 \sin x =  - \infty .

(*) Θεώρησα την μη ύπαρξη του
\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \sin x
δεδομένη, αφού και αυτής η απόδειξη γίνεται, ως γνωστό, και χωρίς ακολουθίες. Θα μου πεις τώρα ,γιατί αυτή η φασαρία; Μήπως την χωρέσουμε στην Γ΄Λυκείου. Τελικά χωράει;
Φαντάζεστε ερώτημα ειδικής διδακτικής του τύπου:
Μπορείτε να κάνετε σχέδιο μαθήματος για τάξη της Γ΄ Λυκείου (που να έχει ολοκληρωθεί το κομμάτι της ύλης και για την συνέχεια συνάρτησης) στο οποίο να παρουσιάζεται το γεγονός της ΜΗ ύπαρξης των ορίων \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \sin x,\;\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } x^2 \sin x;
Και το ερωτώ με βάση το Μαθηματικό περιβάλλον της Γ΄ Λυκείου, όπου οι ακολουθίες είναι εκτός ύλης.

S.E.Louridas