Τιμή αντίστροφης

Συντονιστής: chris_gatos

Άβαταρ μέλους
mathxl
Δημοσιεύσεις: 6736
Εγγραφή: Τρί Δεκ 23, 2008 3:49 pm
Τοποθεσία: Σιδηρόκαστρο
Επικοινωνία:

Τιμή αντίστροφης

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από mathxl » Δευ Μαρ 07, 2011 5:54 pm

Ας είναι \displaystyle\lim_{x\to\ 2}\frac{f^{-1}(x)+3}{x-2}=-2 και \displaystyle\ g(x)=\frac{f(x)+3}{f(x)-3} να υπολογίσετε την τιμή g^{-1}(-5). Δίνεται ότι η f είναι παραγωγίσιμη συνάρτηση

Από μαθλινκσ


Ποτε δεν κάνω λάθος! Μια φορά νομιζα πως είχα κάνει, αλλά τελικά έκανα λάθος!
Απ' τα τσακάλια δεν γλυτώνεις μ' ευχές η παρακάλια. Κ. Βάρναλης
Aπέναντι στις αξίες σου να είσαι ανυποχώρητος

Ενεργό μέλος από 23-12-2008 ως και 17-8-2014 (δεν θα απαντήσω σε πμ)
Άβαταρ μέλους
apotin
Δημοσιεύσεις: 829
Εγγραφή: Τετ Απρ 08, 2009 5:53 pm

Re: Τιμή αντίστροφης

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από apotin » Δευ Μαρ 07, 2011 6:14 pm

-3;

Υπενθύμιση από Γενικούς Συντονιστές
Υπενθυμίζουμε στα μέλη μας ότι οι κανόνες δεοντολογίας του κανονισμού μας γράφουν:
16) Κάθε άσκηση περιμένει μία ολοκληρωμένη απάντηση. Μη στέλνετε ελλιπείς απαντήσεις, υποδείξεις ή μόνο το αποτέλεσμα. Αποθαρρύνετε έτσι κάποιο άλλο μέλος να στείλει μία ολοκληρωμένη απάντηση. Αν έχετε κάποια σχόλια για μία άσκηση ή κάποια γενίκευση είναι προτιμότερο να τα καταθέσετε αφού η άσκηση λυθεί. Ακόμη και αν μία άσκηση έχει λυθεί, αν έχετε μία διαφορετική λύση μη διστάσετε να τη στείλετε.
τελευταία επεξεργασία από Γενικοί Συντονιστές σε Δευ Μαρ 07, 2011 11:02 pm, έχει επεξεργασθεί 2 φορές συνολικά.
Λόγος: Υπενθύμιση


Αποστόλης
Άβαταρ μέλους
mathxl
Δημοσιεύσεις: 6736
Εγγραφή: Τρί Δεκ 23, 2008 3:49 pm
Τοποθεσία: Σιδηρόκαστρο
Επικοινωνία:

Re: Τιμή αντίστροφης

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από mathxl » Δευ Μαρ 07, 2011 9:20 pm

ναι τόσο βρήκα και εγώ


Ποτε δεν κάνω λάθος! Μια φορά νομιζα πως είχα κάνει, αλλά τελικά έκανα λάθος!
Απ' τα τσακάλια δεν γλυτώνεις μ' ευχές η παρακάλια. Κ. Βάρναλης
Aπέναντι στις αξίες σου να είσαι ανυποχώρητος

Ενεργό μέλος από 23-12-2008 ως και 17-8-2014 (δεν θα απαντήσω σε πμ)
Άβαταρ μέλους
apotin
Δημοσιεύσεις: 829
Εγγραφή: Τετ Απρ 08, 2009 5:53 pm

Re: Τιμή αντίστροφης

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από apotin » Τρί Μαρ 08, 2011 12:10 am

apotin έγραψε:-3;

Υπενθύμιση από Γενικούς Συντονιστές
Υπενθυμίζουμε στα μέλη μας ότι οι κανόνες δεοντολογίας του κανονισμού μας γράφουν:
16) Κάθε άσκηση περιμένει μία ολοκληρωμένη απάντηση. Μη στέλνετε ελλιπείς απαντήσεις, υποδείξεις ή μόνο το αποτέλεσμα. Αποθαρρύνετε έτσι κάποιο άλλο μέλος να στείλει μία ολοκληρωμένη απάντηση. Αν έχετε κάποια σχόλια για μία άσκηση ή κάποια γενίκευση είναι προτιμότερο να τα καταθέσετε αφού η άσκηση λυθεί. Ακόμη και αν μία άσκηση έχει λυθεί, αν έχετε μία διαφορετική λύση μη διστάσετε να τη στείλετε.

Σε καμιά περίπτωση δεν ήθελα να αποθαρρύνω κάποιον να λύσει την άσκηση. Απλώς το έχω παρατηρήσει να συμβαίνει στο :logo: και επειδή έχω ένα κενό στην απόδειξη δεν την ανέβασα. Γι' αυτό και το ερωτηματικό.


Αποστόλης
Άβαταρ μέλους
apotin
Δημοσιεύσεις: 829
Εγγραφή: Τετ Απρ 08, 2009 5:53 pm

Re: Τιμή αντίστροφης

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από apotin » Τρί Μαρ 08, 2011 10:43 am

Για τη λύση, (με κάποια επιφύλαξη)
Έστω συνάρτηση \displaystyle{h(x) = \frac{{{f^{ - 1}}(x) + 3}}{{x - 2}}} σε μια περιοχή του 2.
Τότε \displaystyle{{f^{ - 1}}(x) = \left( {x - 2} \right)h(x) - 3} οπότε \displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} {f^{ - 1}}(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \left[ {\left( {x - 2} \right)h(x) - 3} \right] =  - 3}

Η f γνωρίζουμε ότι είναι <1-1> και συνεχής (ως παραγωγίσιμη), οπότε είναι και γνησίως μονότονη (είναι γνωστή η απόδειξη) στο \displaystyle{{D_f}}.
Άρα αποδεικνύεται (;) ότι η \displaystyle{{f^{ - 1}}} είναι συνεχής στο \displaystyle{{R_f}}

viewtopic.php?f=61&t=3696&hilit=f^+1+%C ... F%86%CE%B7

Τότε \displaystyle{{f^{ - 1}}(2) =  - 3} οπότε έχουμε f(-3)=2.
Έτσι βρίσκουμε g(-3)=-5
Αλλά \displaystyle{g(x) = 1 + \frac{6}{{f(x) - 3}}} και εύκολα δείχνουμε ότι είναι <1-1> και άρα αντιστρέψιμη (αφού η f είναι <1-1>).
Επομένως \displaystyle{{g^{ - 1}}\left( { - 5} \right) =  - 3}

(Δεν αναφέρεται, στην εκφώνηση, το ΠΟ της f)


Αποστόλης
Άβαταρ μέλους
parmenides51
Δημοσιεύσεις: 6240
Εγγραφή: Πέμ Απρ 23, 2009 9:13 pm
Τοποθεσία: Πεύκη
Επικοινωνία:

Re: Τιμή αντίστροφης

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από parmenides51 » Κυρ Απρ 15, 2012 4:04 pm

Μια διαφορετική αντιμετώπιση

θέτω \displaystyle{h(x) = \frac{{{f^{ - 1}}(x) + 3}}{{x - 2}} } με \displaystyle{ \lim_{x \to 2} h(x) =-2}

οπότε \displaystyle{ {f^{ - 1}}(x)+3 =h(x)(x - 2)\Rightarrow {f^{ - 1}}(x)=h(x)(x - 2)-3 }

συνεπώς \displaystyle{ \lim_{x \to 2} {f^{ - 1}}(x) = \lim_{x \to 2} \left(h(x) ( x - 2 ) - 3} \right) = 0 - 3=-3}


θέτω \displaystyle{f(y)=x\Leftrightarrow y=f^{-1}(x)} αφού η \displaystyle{f} αντιστρέφεται

όταν \displaystyle{x\to 2} έχουμε πως \displaystyle{y=f^{ - 1}}(x)\to -3}

οπότε όταν \displaystyle{y\to -3} έχουμε πως \displaystyle{x=f(y)\to 2}


άρα \displaystyle{ \lim_{x \to -3} f(x) =2}}

κι επειδή η \displaystyle{f} είναι συνεχής στο \displaystyle{-3} ως παραγωγίσιμη

θα ισχύει πως \displaystyle{f(-3)= \lim_{x \to -3} f(x) =2}}

οπότε \displaystyle{g(-3)=\frac{f(-3)+3}{f(-3)-3}=\frac{2+3}{2-3}=-5}


η \displaystyle{g} είναι \displaystyle{1-1} διότι

για \displaystyle{x_1,xχ_2 \in D_g} με \displaystyle{g(x_1)=g(x_2)\Rightarrow \frac{f(x_1)+3}{f(x_1)-3}=\frac{f(x_2)+3}{f(x_2)-3}\Rightarrow 6f(x_1)=6f(x_2) \mathtop \limits{_{\Rightarrow}^{f 1-1} x_1=x_2}

συνεπώς η \displaystyle{g} αντιστρέφεται


άρα \displaystyle{g(-3)=-5\Leftrightarrow g^{ - 1}(  - 5) =  - 3}


Απάντηση

Επιστροφή σε “Προτεινόμενα Θέματα Μαθηματικών”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης