Τοπικό μέγιστο σε δύο σημεία διαστήματος

Συντονιστής: chris_gatos

Άβαταρ μέλους
chris_gatos
Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 6827
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 9:03 pm
Τοποθεσία: Πειραιάς

Τοπικό μέγιστο σε δύο σημεία διαστήματος

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από chris_gatos » Κυρ Μαρ 20, 2011 9:21 pm

Έστω \displaystyle{ 
f:\left[ {a,b} \right] \to R 
} συνεχής συνάρτηση.Αν η \displaystyle{ 
f 
} έχει τοπικό μέγιστο σε δύο διαφορετικά σημεία \displaystyle{ 
x_1 ,x_2  \in \left[ {a,b} \right] 
} τότε να αποδείξετε πως υπάρχει \displaystyle{ 
x_3  
} μεταξύ των \displaystyle{ 
x_1 ,x_2  
} ώστε η \displaystyle{ 
f 
} να παρουσιάζει σε αυτό τοπικό ελάχιστο.


Χρήστος Κυριαζής
s.kap
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2455
Εγγραφή: Τρί Δεκ 08, 2009 6:11 pm
Τοποθεσία: Ιωάννινα

Re: Τοπικό μέγιστο σε δύο σημεία διαστήματος

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από s.kap » Κυρ Μαρ 20, 2011 10:52 pm

Υποθέτουμε, χωρίς βλάβη της γενικότητας ότι a\le x_1<x_2 \le b.

Τότε θα υπάρχουν θετικοί \delta_1, \delta_2 ώστε f(x_1) \ge f(x), \forall x \in (x_1, x_1+\delta_1) \subset [x_1,x_2] (1)

και f(x_2) \ge f(x), \forall x \in (x_2-\delta_2, x_2) \subset [x_1,x_2] (2)

Λόγω της συνέχειας της συνάρτησης η f θα παρουσιάζει ελάχιστο σε κάποιο σημείο x_3 \in [x_1,x_2] και λόγω των (1)

και (2) έχουμε x_3 \in (x_1,x_2).

Να σημειώσω ότι δεν είναι ανάγκη η f να ορίζεται σε κλειστό διάστημα, αλλά σε οποιοδήποτε διάστημα.


Σπύρος Καπελλίδης
Άβαταρ μέλους
Christos.N
Δημοσιεύσεις: 1715
Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 26, 2009 2:28 pm
Τοποθεσία: Ίλιον

Re: Τοπικό μέγιστο σε δύο σημεία διαστήματος

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Christos.N » Δευ Μαρ 21, 2011 10:37 am

Καλημέρα σε όλη την ευχάριστη συντροφιά, εχω μια απορία.

Τι θα συμβεί όταν η συνάρτηση είναι σταθερή στο [x_{1},x_{2}] ;

αναφέρομαι κυρίως σε αυτό το σημείο:
s.kap έγραψε: ....Λόγω της συνέχειας της συνάρτησης η f θα παρουσιάζει ελάχιστο σε κάποιο σημείο x_3 \in [x_1,x_2] και λόγω των (1)

και (2) έχουμε x_3 \in (x_1,x_2).
.....
Μήπως στην διατύπωση της άσκησης να συμπληρώναμε το "μη σταθερή" ;


Χρήστος Ντάβας
Wir müssen wissen — wir werden wissen! D.Hilbert
s.kap
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2455
Εγγραφή: Τρί Δεκ 08, 2009 6:11 pm
Τοποθεσία: Ιωάννινα

Re: Τοπικό μέγιστο σε δύο σημεία διαστήματος

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από s.kap » Δευ Μαρ 21, 2011 11:09 am

Στην περίπτωση της σταθερής συνάρτησης τα συμπεράσματα είναι προφανή, ότι δηλαδή έχουμε και μέγιστο και ελάχιστο σε κάθε σημείο του πεδίου ορισμού της, για αυτόν τον λόγο παραλείπουμε την αναφορά στις σταθερές συναρτήσεις.


Σπύρος Καπελλίδης
Απάντηση

Επιστροφή σε “Προτεινόμενα Θέματα Μαθηματικών”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 3 επισκέπτες