Ολοκλήρωμα

komi · #1

Να υπολογιστεί το :

$\displaystyle{I = \int\limits_a^b {\frac{{1 + {{2011}^x}}}{{1 + {{2011}^x} + {{2011}^{2x - a - b}}}}} dx}$

με $\displaystyle{a \ne b}$ .

(Good luck!)

mathxl · #2

Μήπως to 2011^x έχει συντελεστή 2 στον παρονομαστή?
Αν ναι τότε μία λύση είναι η παρακάτω ειδάλλως έχουμε μία νέα άσκηση λολ

$\displaystyle{I = \int\limits_a^b {\frac{{1 + {{2011}^x}}}{{1 + 2 \cdot {{2011}^x} + {{2011}^{2x - a - b}}}}} dx\mathop = \limits_{dx = - du}^{x = a + b - u} \int\limits_a^b {\frac{{1 + {{2011}^{a + b - u}}}}{{1 + 2 \cdot {{2011}^{a + b - u}} + {{2011}^{a + b - 2u}}}}} du = }$

$\displaystyle{ = \bigint\limits_a^b {\displaystyle\frac{{\displaystyle\frac{{1 + {{2011}^{x - a - b}}}}{{{{2011}^{x - a - b}}}}}}{{\displaystyle\frac{{{{2011}^{2x - a - b}} + 2 \cdot {{2011}^x} + 1}}{{{{2011}^{2x - a - b}}}}}}} dx = \int\limits_a^b {\displaysyle\frac{{{{2011}^x}\left( {1 + {{2011}^{x - a - b}}} \right)}}{{{{2011}^{2x - a - b}} + 2 \cdot {{2011}^x} + 1}}} dx \Rightarrow }$

$\displaystyle{2I = \int\limits_a^b {\frac{{1 + {{2011}^x}}}{{1 + 2 \cdot {{2011}^x} + {{2011}^{2x - a - b}}}}} dx + \int\limits_a^b {\frac{{{{2011}^x}\left( {1 + {{2011}^{x - a - b}}} \right)}}{{{{2011}^{2x - a - b}} + 2 \cdot {{2011}^x} + 1}}} dx \Rightarrow }$

$\displaystyle{2I = \int\limits_a^b {\frac{{1 + {{2011}^x} + {{2011}^x} + {{2011}^{2x - a - b}}}}{{1 + 2 \cdot {{2011}^x} + {{2011}^{2x - a - b}}}}} dx = b - a \Rightarrow I = \frac{{b - a}}{2}}$

Ολοκλήρωμα

Ολοκλήρωμα

Re: Ολοκλήρωμα

Μέλη σε σύνδεση