Υπαρξιακή

Συντονιστής: chris_gatos

Άβαταρ μέλους
chris_gatos
Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 6826
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 9:03 pm
Τοποθεσία: Πειραιάς

Υπαρξιακή

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από chris_gatos » Παρ Ιούλ 15, 2011 8:12 pm

Άσκηση προτεινόμενη από τον Νίκο Ζανταρίδη(nikoszan)
Έστω οι συνεχείς συναρτήσεις \displaystyle{ 
f,g:\left[ {1,100} \right] \to R 
}.
Αν ισχύει:
\displaystyle{ 
\left\{ {f(1),f(2),f(3),...,f(100)} \right\} = \left\{ {g(1),g(2),g(3),...,g(100)} \right\} 
}
τότε να δείξετε ότι υπάρχει \displaystyle{ 
x_0  \in \left( {1,100} \right) 
} ώστε \displaystyle{ 
f(x_0 ) = g(x_0 ) 
}


Χρήστος Κυριαζής
achilleas
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2655
Εγγραφή: Τρί Σεπ 15, 2009 3:32 pm

Re: Υπαρξιακή

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από achilleas » Παρ Ιούλ 15, 2011 8:57 pm

chris_gatos έγραψε:Άσκηση προτεινόμενη από τον Νίκο Ζανταρίδη(nikoszan)
Έστω οι συνεχείς συναρτήσεις \displaystyle{ 
f,g:\left[ {1,100} \right] \to R 
}.
Αν ισχύει:
\displaystyle{ 
\left\{ {f(1),f(2),f(3),...,f(100)} \right\} = \left\{ {g(1),g(2),g(3),...,g(100)} \right\} 
}
τότε να δείξετε ότι υπάρχει \displaystyle{ 
x_0  \in \left( {1,100} \right) 
} ώστε \displaystyle{ 
f(x_0 ) = g(x_0 ) 
}
Έστω η συνάρτηση h:[1,100]\to \mathbb{R} με h(x)=f(x)-g(x) για κάθε x\in \mathbb{R}.

Ας υποθέσουμε ότι δεν ισχύει το συμπέρασμα. Τότε, λόγω συνέχειας,

μπορούμε χωρίς βλάβη της γενικότητας να υποθέσουμε ότι h(x)>0 για κάθε x\in (1,100).

Επομένως, αν s=\sum_{k=1}^{100}f(x)=\sum_{k=1}^{100}g(x), έχουμε


\displaystyle{0<\sum_{k=2}^{99}h(x)=\sum_{k=2}^{99}f(x)- \sum_{k=2}^{99}g(x)=(s-f(1)-f(100))-(s-g(1)-g(100))=g(1)+g(100)-f(1)-f(100)}.

Συνεπώς, g(1)+g(100)>f(1)+f(100). (*)

Αλλά f(1)-g(1)=\lim_{x\to 1^{+}}h(x) \geq 0 και f(100)-g(100)=\lim_{x\to 100^{-}}h(x) \geq 0

Οπότε

f(1)+f(100)\geq g(1)+g(100),

που αντιβαίνει στην (*).

Σε άτοπο καταλήξαμε επειδή υποθέσαμε ότι η h δεν μηδενίζεται στο (1,100).

Συνεπώς, υπάρχει \displaystyle{ x_0  \in \left( {1,100} \right) } ώστε \displaystyle{ 
f(x_0 ) = g(x_0 ) 
}

Φιλικά,

Αχιλλέας


Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 8262
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

Re: Υπαρξιακή

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Παρ Ιούλ 15, 2011 9:40 pm

Υπάρχει ένα πρόβλημα με την εκφώνηση. Π.χ. αν πάρουμε \displaystyle{ f(x) = \begin{cases} 1 & 1 \leqslant x \leqslant 99 \\ x-98 & 99 \leqslant x \leqslant 100 \end{cases} } και \displaystyle{ f(x) = \begin{cases} x & 1 \leqslant x \leqslant 2 \\ 2 & 2 \leqslant x \leqslant 100 \end{cases} } τότε το συμπέρασμα δεν ισχύει.

Το πρόβλημα είναι ότι η εκφώνηση λέει μόνο ότι τα σύνολα \{f(1),\ldots,f(100)\} και \{g(1),\ldots,g(100)\} είναι ίσα. Πρέπει όμως να δοθεί ότι και οι πολλαπλότητες είναι ίδιες.


Άβαταρ μέλους
parmenides51
Δημοσιεύσεις: 6240
Εγγραφή: Πέμ Απρ 23, 2009 9:13 pm
Τοποθεσία: Πεύκη
Επικοινωνία:

Re: Υπαρξιακή

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από parmenides51 » Κυρ Απρ 15, 2012 9:01 pm

Στον συμβολισμό των συνόλων δεν πρέπει τα στοιχεία κάθε συνόλου (με βάση το σχολικό) να είναι διαφορετικά; :?
Νομίζω πως σε σύνολο της μορφής \{f(1),f(2),\ldots,f(100)\} εννοείται πως \displaystyle{f(i) \neq f(j)} για κάθε \displaystyle{ i\neq j} με \displaystyle{i,j=1,2,...,100}.


Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 11547
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Υπαρξιακή

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Κυρ Απρ 15, 2012 9:48 pm

parmenides51 έγραψε:Στον συμβολισμό των συνόλων δεν πρέπει τα στοιχεία κάθε συνόλου (με βάση το σχολικό) να είναι διαφορετικά; :?
Νομίζω πως σε σύνολο της μορφής \{f(1),f(2),\ldots,f(100)\} εννοείται πως \displaystyle{f(i) \neq f(j)} για κάθε \displaystyle{ i\neq j} με \displaystyle{i,j=1,2,...,100}.
Παρμενίδη, αυτό που λες δεν αντίκειται στα λεγόμενα του Δημήτρη.

Ο Δημήτρης λέει, πολύ σωστά, ότι \{f(1),f(2),\ldots,f(100)\}= \{1, \, 2 \} =  \{g(1),g(2),\ldots,g(100)\}. Όμως δεν υπάρχει x \in (1, \, 100) με f(x)=g(x). Πράγματι, στις συναρτήσεις του Δημήτρη ισχύει f(1)=g(1)=1, \, f(100)=g(100)=2 αλλά σε όλα τα άλλα x ισχύει f(x)\ne g(x). Δηλαδή η άσκηση έχει πρόβλημα.

Μ.


Άβαταρ μέλους
parmenides51
Δημοσιεύσεις: 6240
Εγγραφή: Πέμ Απρ 23, 2009 9:13 pm
Τοποθεσία: Πεύκη
Επικοινωνία:

Re: Υπαρξιακή

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από parmenides51 » Κυρ Απρ 15, 2012 10:01 pm

Μπορώ να γράφω ένα σύνολο σαν \displaystyle{\{1,1,2\}}; Δεν πρέπει τα στοιχεία του να είναι διαφορετικά; Αυτό ρώτησα πριν.


Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 11547
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Υπαρξιακή

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Κυρ Απρ 15, 2012 10:24 pm

parmenides51 έγραψε:Μπορώ να γράφω ένα σύνολο σαν \displaystyle{\{1,1,2\}}; Δεν πρέπει τα στοιχεία του να είναι διαφορετικά; Αυτό ρώτησα πριν.
Σωστά λες ότι το \{1,1,2\} γράφεται, ως γνωστόν, \{1, \, 2\} όμως όταν περιγράφουμε τα στοιχεία ενός συνόλου, δεν θεωρούμε ότι είναι διαφορετικά. Π.χ. γράφουμε \{x^2 | x \in \mathbb R \} χωρίς πρόβλημα, όμως το στοιχείο 1 το γράψαμε δύο φορές: Μία ως 1^2 και μία ως (-1)^2. Κανένα πρόβλημα.

Μ.


Άβαταρ μέλους
parmenides51
Δημοσιεύσεις: 6240
Εγγραφή: Πέμ Απρ 23, 2009 9:13 pm
Τοποθεσία: Πεύκη
Επικοινωνία:

Re: Υπαρξιακή

#8

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από parmenides51 » Κυρ Απρ 15, 2012 10:46 pm

Δεν είχα ξεκαθαρίσει τόσο το θέμα γραφής - περιγραφής. Ευχαριστώ για τις απαντήσεις.
Μάλλον θα έπρεπε να καταλάβω από την εκφώνηση ότι αναφέρεται σε περιγραφή κι όχι σε γραφή συνόλου (το οποίο δεν βλέπω πως :? ).


Απάντηση

Επιστροφή σε “Προτεινόμενα Θέματα Μαθηματικών”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης