chris_gatos έγραψε:Άσκηση προτεινόμενη από τον Νίκο Ζανταρίδη(nikoszan)
Αν η συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα στο και ισχύει να δείξετε ότι
Έστω άρρητος. Αν , επιλέγουμε ρητό με (πυκνότητα των ρητών). Από την τελευταία και από την υπόθεση ότι η είναι γνήσια αύξουσα έχουμε , άτοπο. Όμοια οδηγούμαστε σε άτοπο αν . Τελικά .
Αλλιώς (και για να θυμηθούμε το Αξίωμα του κιβωτισμού που κάποτε ήταν στην ύλη της Α Λυκείου!).
Έστω . Θεωρούμε ακολουθία ρητών που αυξάνει προς το και μια δεύτερη που φθίνει προς το . Εξ υποθέσεως έχουμε (*). Τα διαστήματα είναι κιβωτισμένα με μοναδικό στοιχείο στην τομή τους το . Όμως και τα τελευταία, λόγω της (*), περιέχουν το . Από μοναδικότητα της τομής έχουμε , όπως θέλαμε.