Σελίδα 1 από 1

Ταυτοτική στους ρητούς;Ταυτοτική και στους πραγματικούς!

Δημοσιεύτηκε: Σάβ Ιούλ 16, 2011 12:22 am
από chris_gatos
Άσκηση προτεινόμενη από τον Νίκο Ζανταρίδη(nikoszan)

Αν η συνάρτηση \displaystyle{ 
f:R \to R 
} είναι γνησίως αύξουσα στο \displaystyle{ 
 R 
} και ισχύει \displaystyle{ 
f(\rho ) = \rho ,\forall \rho  \in Q 
} να δείξετε ότι \displaystyle{ 
f(x) = x,\forall x \in R 
}

Re: Ταυτοτική στους ρητούς;Ταυτοτική και στους πραγματικούς!

Δημοσιεύτηκε: Σάβ Ιούλ 16, 2011 1:22 am
από Mihalis_Lambrou
chris_gatos έγραψε:Άσκηση προτεινόμενη από τον Νίκο Ζανταρίδη(nikoszan)

Αν η συνάρτηση \displaystyle{ 
f:R \to R 
} είναι γνησίως αύξουσα στο \displaystyle{ 
 R 
} και ισχύει \displaystyle{ 
f(\rho ) = \rho ,\forall \rho  \in Q 
} να δείξετε ότι \displaystyle{ 
f(x) = x,\forall x \in R 
}
Έστω x άρρητος. Αν f(x) < x, επιλέγουμε ρητό \rho με f(x) < \rho <x (πυκνότητα των ρητών). Από την τελευταία και από την υπόθεση ότι η f είναι γνήσια αύξουσα έχουμε \rho = f(\rho) < f(x) < \rho, άτοπο. Όμοια οδηγούμαστε σε άτοπο αν f(x) > x. Τελικά f(x) = x.

Φιλικά,

Μιχάλης

Re: Ταυτοτική στους ρητούς;Ταυτοτική και στους πραγματικούς!

Δημοσιεύτηκε: Σάβ Ιούλ 16, 2011 2:03 am
από Mihalis_Lambrou
Αλλιώς (και για να θυμηθούμε το Αξίωμα του κιβωτισμού που κάποτε ήταν στην ύλη της Α Λυκείου!).

Έστω x\in \mathbb R. Θεωρούμε ακολουθία (r_n) ρητών που αυξάνει προς το x και μια δεύτερη (t_n) που φθίνει προς το x. Εξ υποθέσεως έχουμε f(r_n) < f(x) < f(t_n) (*). Τα διαστήματα [r_n, \, t_n] είναι κιβωτισμένα με μοναδικό στοιχείο στην τομή τους το x. Όμως [r_n, \, t_n] = [f(r_n) , \,  f(t_n)] και τα τελευταία, λόγω της (*), περιέχουν το f(x). Από μοναδικότητα της τομής έχουμε f(x)=x, όπως θέλαμε.

Φιλικά,

Μιχάλης