Συναρτήσεις

Συντονιστής: chris_gatos

s.kap
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2455
Εγγραφή: Τρί Δεκ 08, 2009 6:11 pm
Τοποθεσία: Ιωάννινα

Συναρτήσεις

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από s.kap » Πέμ Αύγ 25, 2011 1:51 pm

M ένα μη κενό σύνολο και f,g: M \to M δύο 1-1 συναρτήσεις, ώστε κάθε σημείο του M να είναι σταθερό σημείο ακριβώς μιας από τις f ή g. Να αποδειχθεί ότι f \circ g=g \circ f


Σπύρος Καπελλίδης
ΖΩΗ
Δημοσιεύσεις: 117
Εγγραφή: Τετ Φεβ 24, 2010 5:22 pm

Re: Συναρτήσεις

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΖΩΗ » Πέμ Αύγ 25, 2011 11:41 pm

s.kap έγραψε:M ένα μη κενό σύνολο και f,g: M \to M δύο 1-1 συναρτήσεις, ώστε κάθε σημείο του M να είναι σταθερό σημείο ακριβώς μιας από τις f ή g. Να αποδειχθεί ότι f \circ g=g \circ f
Έστω x\in M τ.ω. f\left(x \right)=x και g\left(x \right)\neq x.

\bullet f\left(x \right)=x \Rightarrow g\left(f\left(x \right) \right)=g\left(x \right). (1)

\bullet g\left(x \right)\neq x \,\,\overset{g=1-1}{\Rightarrow } \,\, g\left(g\left(x \right) \right)\neq g\left(x \right) δηλαδή το g\left(x \right) δεν είναι σταθερό σημείο της g.

Άρα το g\left(x \right) είναι σταθερό της f. Δηλαδή, f\left(g\left(x \right) \right)=g\left(x \right). (2)

\overset{(1),(2)}{\Rightarrow } \left( f \circ g\right)\left(x \right)=\left(g \circ f \right)\left(x \right).

Ομοίως, αν x είναι ένα σημείο του M σταθερό της g τότε, επειδή η f είναι 1-1 αποδεικνύεται ότι \left( f \circ g\right)\left(x \right)=\left(g \circ f \right)\left(x \right).

Άρα είναι \left( f \circ g\right)\left(x \right)=\left(g \circ f \right)\left(x \right) , \,\, \forall x \in M, οπότε f \circ g=g \circ f.


Ζωή
Απάντηση

Επιστροφή σε “Προτεινόμενα Θέματα Μαθηματικών”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης