Πολυώνυμο!

#1

Έστω το πολυώνυμο $\displaystyle{P}$ με πραγματικούς συντελεστές και για το οποίο ισχύει

$\displaystyle{P(x)+aP^{\prime}(x)\geq 0,}$ για κάθε $\displaystyle{x\in \mathbb{R},}$

όπου $\displaystyle{a}$ μια πραγματική σταθερά.

Να αποδείξετε, ότι

$\displaystyle{P(x)\geq 0,}$ για κάθε $\displaystyle{x\in \mathbb{R}.}$

#2

Αν είναι

τότε δεν έχουμε τίποτα να δείξουμε.

Αν a>0

τότε η ισότητα γράφεται $\left(P(x)e^{\frac{1}{a}x}\right)^{\prime} \geq 0$ οπότε η συνάρτηση $g(x)=P(x)e^{\frac{1}{a}x}$ είναι αύξουσα.

Άρα $g\Big((-\infty,+\infty)\Big)=\left[\displaystyle\lim_{\displaystyle x\to -\infty} g(x),\displaystyle\lim_{\displaystyle x\to +\infty}g(x)\right)=[0,+\infty)$

Άρα τελικά $g(x)\geq 0$ για κάθε $x\in\mathbb{R}$ οπότε $P(x)\geq 0$ για κάθε $x\in\mathbb{R}$

Αν a<0

τότε η ισότητα γράφεται $\left(P(x)e^{\frac{1}{a}x}\right)^{\prime} \leq 0$ οπότε η συνάρτηση $g(x)=P(x)e^{\frac{1}{a}x}$ είναι φθίνουσα

Άρα $g\Big((-\infty,+\infty)\Big)=\left[\displaystyle\lim_{\displaystyle x\to +\infty} g(x),\displaystyle\lim_{\displaystyle x\to -\infty}g(x)\right)=[0,+\infty)$

Άρα τελικά $g(x)\geq 0$ για κάθε $x\in\mathbb{R}$ οπότε $P(x)\geq 0$ για κάθε $x\in\mathbb{R}$ .

Αλέξανδρος

EDIT: Ευχαριστώ τον GMANS για την υπόδειξη της αβλεψίας.

#3

matha έγραψε:Έστω το πολυώνυμο $\displaystyle{P}$ με πραγματικούς συντελεστές και για το οποίο ισχύει

$\displaystyle{P(x)+aP^{\prime}(x)\geq 0,}$ για κάθε $\displaystyle{x\in \mathbb{R},}$

όπου $\displaystyle{a}$ μια πραγματική σταθερά.

Να αποδείξετε, ότι

$\displaystyle{P(x)\geq 0,}$ για κάθε $\displaystyle{x\in \mathbb{R}.}$

Αλλιώς: Από την δοθείσα συμπεραίνουμε ότι το

είναι άρτιου βαθμού (ή το μηδενικό πολυώνυμο). Άρα έχει ολικό ελάχιστο, έστω στο x_0

, και βέβαια $P{'}(x_0)=0$ . Άρα για κάθε $x \in \mathbb R$ έχουμε

$P(x)\ge P(x_0) = P(x_0) + aP{'}(x_0) \ge 0$

Φιλικά,

Μιχάλης

#4

Μετά από συζήτηση με το Θάνο (matha) νομίζω ότι πρέπει να είμαι λίγο πιο αναλυτικός σε κάποια σημεία της λύσης μου παραπάνω.

Είμαστε στην περίπτωση a>0

και αναλόγως εργαζόμαστε για την περίπτωση a<0

Αφού $P(x)+aP^{\prime}(x)\geq 0 \ \ (1)$ άρα παίρνοντας όρια στο $+\infty$ βλέπουμε ότι ο μεγιστοβάθμιος όρος του P(x)

οφείλει να είναι θετικός διαφορετικά ερχόμαστε σε αντίθεση με την (1)

.

Άρα $\displaystyle\lim_{\displaystyle x\to +\infty}g(x)=+\infty$ .

Επίσης για να βρούμε το όριο

$\displaystyle\lim_{\displaystyle x\to -\infty}g(x)=\displaystyle\lim_{\displaystyle x\to -\infty}P(x)e^{\frac{1}{a}x}=\displaystyle\lim_{\displaystyle x\to -\infty}\displaystyle\frac{P(x)}{e^{-\frac{1}{a}x}}$ ενός πολυωνύμου P(x)

βαθμού

με μεγιστοβάθμιο συντελεστή τον a_n

εφαρμόζουμε τον κανόνα L' Hospital

φορές για να πάρουμε τελικά

$\displaystyle\lim_{\displaystyle x\to -\infty}\displaystyle\frac{P(x)}{e^{-\frac{1}{a}x}}=\displaystyle\lim_{\displaystyle x\to -\infty}\displaystyle\frac{n!a_n}{\left(-\displaystyle\frac{1}{a}\right)^ne^{-\frac{1}{a}x}}=0$

Με λίγα λόγια ενώ έχουμε απροσδιοριστία με το όριο του πολυωνύμου P(x)

να είναι $-\infty$ και το όριο του εκθετικού $e^{\frac{1}{a}x}$ να είναι

, στο τέλος το εκθετικό "τρώει" το πολυώνυμο και το όριο πάει στο

κάτι το οποίο θεώρησα δεδομένο στην αρχή.

Αλέξανδρος

#5

Καλησπέρα!
Κοιτάζοντας τη λύση του Αλέξανδρου δε με καλύπτει το κλειστό κάτω άκρο του συνόλου τιμών του πολυωνύμου.
Έχω την εντύπωση πως δε δικαιολογείται από κάποια πρόταση.
Για να είναι πλήρης η λύση αρκεί πιστεύω αρχικά να πούμε πως ''Παρατηρούμε πως το μηδενικό πολυώνυμο επαληθεύει,άρα γενικότερα $\displaystyle{ P(x) \ge 0 }$ ''.
Ευχαριστώ.

#6

chris_gatos έγραψε:Καλησπέρα!
Κοιτάζοντας τη λύση του Αλέξανδρου δε με καλύπτει το κλειστό κάτω άκρο του συνόλου τιμών του πολυωνύμου.
Έχω την εντύπωση πως δε δικαιολογείται από κάποια πρόταση.

Σωστά, αλλά νομίζω ότι αυτό που θέλει να πει ο Αλέξανδρος είναι ότι "στην χειρότερη περίπτωση το σύνολο τιμών είναι [0,

κάτι)". Θα μπορούσε να έγραφε, ορθότερα, " $\supseteq [0,$ κάτι)". Πάντως το επόμενο βήμα στην απόδειξή του είναι σωστό, και η απόδειξη σώζεται.

Μ.

#7

Χρήστο έχεις δίκιο! Γενικά την απόδειξη μετά την έφτιαξα λιγάκι προσθέτωντας και μερικές ακόμη λεπτομέρειες που έλειπαν εξ' αρχής διότι την έγραψα βιαστικά (έφευγα απ' το σπίτι). Δεν έβαλα κλειστό το κάτω άκρο γιατί "αυτό χρειαζόμουν" αλλά διότι σκέφτηκα την περίπτωση ότι το 0 περιλαμβάνεται στο σύνολο τιμών όταν το P(x)

είναι σταθερό και συγκεκριμένα το μηδενικό.

Θα έπρεπε πιο σωστά να διακρίνω περιπτώσεις για το P(x)

από το να τα βάλω όλα στο ίδιο τσουβάλι. Να γράψω δηλαδή ότι στην περίπτωση μη μηδενικού πολυωνύμου P(x)

το σύνολο τιμών της g(x)

είναι το $(0,+\infty)$ και στην περίπτωση μηδενικού P(x)

το σύνολο τιμών της

είναι το μονοσύνολο $\{0\}$ . Σε οποιαδήποτε λοιπόν περίπτωση ισχύει $P(x)\geq 0$ .

Ευχαριστώ

Αλέξανδρος

#8

Mihalis_Lambrou έγραψε:
chris_gatos έγραψε:Πάντως το επόμενο βήμα στην απόδειξή του είναι σωστό, και η απόδειξη σώζεται.

Μ.

Δεν αντιλέγω κι εγώ την ίδια λύση έκανα αλλά δεν άγγιζα με τίποτα το μηδέν παρά μόνο με αυτήν την πρόταση που ανέφερα.
Θεώρησα σωστό να το αναφέρω και έτσι έπραξα.

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #9

matha έγραψε: ↑
Δευ Σεπ 12, 2011 2:38 pm
Έστω το πολυώνυμο $\displaystyle{P}$ με πραγματικούς συντελεστές και για το οποίο ισχύει

$\displaystyle{P(x)+aP^{\prime}(x)\geq 0,}$ για κάθε $\displaystyle{x\in \mathbb{R},}$

όπου $\displaystyle{a}$ μια πραγματική σταθερά.

Να αποδείξετε, ότι

$\displaystyle{P(x)\geq 0,}$ για κάθε $\displaystyle{x\in \mathbb{R}.}$

Να σημειώσω ότι αν $a\neq 0$ τότε το συμπέρασμα είναι ότι

P(x)> 0

για $x\in \mathbb{R}$

Για την απόδειξη βλέπε στο viewtopic.php?f=61&t=60572

Πολυώνυμο!

Πολυώνυμο!

Re: Πολυώνυμο!

Re: Πολυώνυμο!

Re: Πολυώνυμο!

Re: Πολυώνυμο!

Re: Πολυώνυμο!

Re: Πολυώνυμο!

Re: Πολυώνυμο!

Re: Πολυώνυμο!

Μέλη σε σύνδεση