Σελίδα 1 από 1
Πολυώνυμο!
Δημοσιεύτηκε: Δευ Σεπ 12, 2011 2:38 pm
από matha
Έστω το πολυώνυμο
με πραγματικούς συντελεστές και για το οποίο ισχύει
για κάθε
όπου
μια πραγματική σταθερά.
Να αποδείξετε, ότι
για κάθε
Re: Πολυώνυμο!
Δημοσιεύτηκε: Δευ Σεπ 12, 2011 3:58 pm
από cretanman
Αν είναι
τότε δεν έχουμε τίποτα να δείξουμε.
Αν
τότε η ισότητα γράφεται
οπότε η συνάρτηση
είναι αύξουσα.
Άρα
Άρα τελικά
για κάθε
οπότε
για κάθε
Αν
τότε η ισότητα γράφεται
οπότε η συνάρτηση
είναι φθίνουσα
Άρα
Άρα τελικά
για κάθε
οπότε
για κάθε
.
Αλέξανδρος
EDIT: Ευχαριστώ τον GMANS για την υπόδειξη της αβλεψίας.
Re: Πολυώνυμο!
Δημοσιεύτηκε: Δευ Σεπ 12, 2011 6:42 pm
από Mihalis_Lambrou
matha έγραψε:Έστω το πολυώνυμο
με πραγματικούς συντελεστές και για το οποίο ισχύει
για κάθε
όπου
μια πραγματική σταθερά.
Να αποδείξετε, ότι
για κάθε
Αλλιώς: Από την δοθείσα συμπεραίνουμε ότι το
είναι άρτιου βαθμού (ή το μηδενικό πολυώνυμο). Άρα έχει ολικό ελάχιστο, έστω στο
, και βέβαια
. Άρα για κάθε
έχουμε
Φιλικά,
Μιχάλης
Re: Πολυώνυμο!
Δημοσιεύτηκε: Δευ Σεπ 12, 2011 11:48 pm
από cretanman
Μετά από συζήτηση με το Θάνο (matha) νομίζω ότι πρέπει να είμαι λίγο πιο αναλυτικός σε κάποια σημεία της λύσης μου παραπάνω.
Είμαστε στην περίπτωση
και αναλόγως εργαζόμαστε για την περίπτωση
Αφού
άρα παίρνοντας όρια στο
βλέπουμε ότι ο μεγιστοβάθμιος όρος του
οφείλει να είναι θετικός διαφορετικά ερχόμαστε σε αντίθεση με την
.
Άρα
.
Επίσης για να βρούμε το όριο
ενός πολυωνύμου
βαθμού
με μεγιστοβάθμιο συντελεστή τον
εφαρμόζουμε τον κανόνα L' Hospital
φορές για να πάρουμε τελικά
Με λίγα λόγια ενώ έχουμε απροσδιοριστία με το όριο του πολυωνύμου
να είναι
και το όριο του εκθετικού
να είναι
, στο τέλος το εκθετικό "τρώει" το πολυώνυμο και το όριο πάει στο
κάτι το οποίο θεώρησα δεδομένο στην αρχή.
Αλέξανδρος
Re: Πολυώνυμο!
Δημοσιεύτηκε: Τρί Σεπ 13, 2011 3:01 pm
από chris_gatos
Καλησπέρα!
Κοιτάζοντας τη λύση του Αλέξανδρου δε με καλύπτει το κλειστό κάτω άκρο του συνόλου τιμών του πολυωνύμου.
Έχω την εντύπωση πως δε δικαιολογείται από κάποια πρόταση.
Για να είναι πλήρης η λύση αρκεί πιστεύω αρχικά να πούμε πως ''Παρατηρούμε πως το μηδενικό πολυώνυμο επαληθεύει,άρα γενικότερα
''.
Ευχαριστώ.
Re: Πολυώνυμο!
Δημοσιεύτηκε: Τρί Σεπ 13, 2011 3:51 pm
από Mihalis_Lambrou
chris_gatos έγραψε:Καλησπέρα!
Κοιτάζοντας τη λύση του Αλέξανδρου δε με καλύπτει το κλειστό κάτω άκρο του συνόλου τιμών του πολυωνύμου.
Έχω την εντύπωση πως δε δικαιολογείται από κάποια πρόταση.
Σωστά, αλλά νομίζω ότι αυτό που θέλει να πει ο Αλέξανδρος είναι ότι "στην χειρότερη περίπτωση το σύνολο τιμών είναι
κάτι)". Θα μπορούσε να έγραφε, ορθότερα, "
κάτι)". Πάντως το επόμενο βήμα στην απόδειξή του είναι σωστό, και η απόδειξη σώζεται.
Μ.
Re: Πολυώνυμο!
Δημοσιεύτηκε: Τρί Σεπ 13, 2011 4:00 pm
από cretanman
Χρήστο έχεις δίκιο! Γενικά την απόδειξη μετά την έφτιαξα λιγάκι προσθέτωντας και μερικές ακόμη λεπτομέρειες που έλειπαν εξ' αρχής διότι την έγραψα βιαστικά (έφευγα απ' το σπίτι). Δεν έβαλα κλειστό το κάτω άκρο γιατί "αυτό χρειαζόμουν" αλλά διότι σκέφτηκα την περίπτωση ότι το 0 περιλαμβάνεται στο σύνολο τιμών όταν το
είναι σταθερό και συγκεκριμένα το μηδενικό.
Θα έπρεπε πιο σωστά να διακρίνω περιπτώσεις για το
από το να τα βάλω όλα στο ίδιο τσουβάλι. Να γράψω δηλαδή ότι στην περίπτωση μη μηδενικού πολυωνύμου
το σύνολο τιμών της
είναι το
και στην περίπτωση μηδενικού
το σύνολο τιμών της
είναι το μονοσύνολο
. Σε οποιαδήποτε λοιπόν περίπτωση ισχύει
.
Ευχαριστώ
Αλέξανδρος
Re: Πολυώνυμο!
Δημοσιεύτηκε: Τρί Σεπ 13, 2011 4:04 pm
από chris_gatos
Mihalis_Lambrou έγραψε:chris_gatos έγραψε:Πάντως το επόμενο βήμα στην απόδειξή του είναι σωστό, και η απόδειξη σώζεται.
Μ.
Δεν αντιλέγω κι εγώ την ίδια λύση έκανα αλλά δεν άγγιζα με τίποτα το μηδέν παρά μόνο με αυτήν την πρόταση που ανέφερα.
Θεώρησα σωστό να το αναφέρω και έτσι έπραξα.
Re: Πολυώνυμο!
Δημοσιεύτηκε: Σάβ Δεκ 23, 2017 7:53 pm
από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
matha έγραψε: ↑Δευ Σεπ 12, 2011 2:38 pm
Έστω το πολυώνυμο
με πραγματικούς συντελεστές και για το οποίο ισχύει
για κάθε
όπου
μια πραγματική σταθερά.
Να αποδείξετε, ότι
για κάθε
Να σημειώσω ότι αν
τότε το συμπέρασμα είναι ότι
για
Για την απόδειξη βλέπε στο
viewtopic.php?f=61&t=60572