κέντρο συμμετρίας.

Συντονιστής: chris_gatos

irakleios
Δημοσιεύσεις: 805
Εγγραφή: Τετ Ιουν 30, 2010 1:20 pm

κέντρο συμμετρίας.

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από irakleios » Τετ Νοέμ 23, 2011 1:30 am

Να βρεθεί το κέντρο συμμετρίας της συνάρτησης \displaystyle{f(x) = \frac{2x - 1}{4x + 2}}.


Η.Γ
KAKABASBASILEIOS
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1508
Εγγραφή: Κυρ Φεβ 01, 2009 1:46 pm

Re: κέντρο συμμετρίας.

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KAKABASBASILEIOS » Τετ Νοέμ 23, 2011 2:15 am

...για το κέντρο συμμετρίας....

Είναι η y=\frac{2x-1}{4x+2}=\frac{1}{2}\frac{2x-1}{2x+1}=\frac{1}{2}\frac{2x+1-2}{2x+1}=\frac{1}{2}(\frac{2x+1}{2x+1}-\frac{2}{2x+1}) οπότε

y=\frac{1}{2}(1-\frac{2}{2x+1})=\frac{1}{2}-\frac{1}{2x+1}\Leftrightarrow y-\frac{1}{2}=\frac{-\frac{1}{2}}{x+\frac{1}{2}} και με Y=y-\frac{1}{2} και X=x+\frac{1}{2}

έχουμε την Y=\frac{-\frac{1}{2}}{X} που έχει κέντρο συμμετρίας το {O}'(0,0) με X=x+\frac{1}{2}=0 έχουμε x=-\frac{1}{2} και Y=y-\frac{1}{2}=0 έχουμε y=\frac{1}{2} άρα το κέντρο συμμετρίας

της αρχικής είναι το {O}'(-\frac{1}{2},\,\frac{1}{2})

Φιλικά και Μαθηματικά
Βασίλης


f ανοιγοντας τους δρομους της Μαθηματικης σκεψης, f' παραγωγος επιτυχιας
Τα Μαθηματικά είναι απλά...όταν σκέπτεσαι σωστά...
Τα Μαθηματικά είναι αυτά...για να δεις πιό μακρυά...
Τα Μαθηματικά είναι μαγεία...όταν έχεις φαντασία...
Άβαταρ μέλους
pito
Δημοσιεύσεις: 1754
Εγγραφή: Τρί Μάιος 18, 2010 10:41 pm
Τοποθεσία: mathematica

Re: κέντρο συμμετρίας.

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από pito » Τετ Νοέμ 23, 2011 12:12 pm

Με μια άλλη προσέγγιση:

Η C_{f} έχει κέντρο συμμετρίας το K(\alpha ,\beta )\Leftrightarrow f(a-x)+f(a+x)=2\beta \Leftrightarrow f(x)+f(2\alpha -x)=2\beta
έτσι πρέπει \frac{2x-1}{4x+2}+\frac{4\alpha -2x-1}{8\alpha -4x+2}=2\beta \Rightarrow ...\Rightarrow -16x^{2}+32\alpha x-4=-32\beta x^{2}+64\alpha \beta x+(32\alpha \beta +8\beta )

άρα απο τα εκ ταυτότητος ίσα πολυώνυμα πρέπει -16=-32\beta \Rightarrow \beta =\frac{1}{2}, 32\alpha =64\alpha \beta \Leftrightarrow 32\alpha =32\alpha( που ισχύει) και -4=32\alpha \beta +8\beta \Rightarrow \alpha =-\frac{1}{2}.

Έτσι το κέντρο συμμετρίας της C_{f} είναι το K(-\frac{1}{2},\frac{1}{2}).


1. Δεν διδάσκουμε με αυτό που λέμε και κάνουμε. Διδάσκουμε με αυτό που είμαστε.
2. Ο μέτριος δάσκαλος περιγράφει. Ο καλός δάσκαλος εξηγεί. Ο σωστός δάσκαλος αποδεικνύει. Ο σπουδαίος δάσκαλος εμπνέει. ( Γουίλιαμ Γουάρντ)
Άβαταρ μέλους
gbaloglou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2696
Εγγραφή: Παρ Φεβ 27, 2009 10:24 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονικη
Επικοινωνία:

Re: κέντρο συμμετρίας.

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από gbaloglou » Κυρ Δεκ 04, 2011 12:45 am

Γεωμετρικά: το κέντρο συμμετρίας οφείλει να είναι το σημείο τομής της κάθετης ασύμπτωτης με την οριζόντια ασύμπτωτη!

...Ας προτείνω κάτι πιο δύσκολο (εντός ορίων ΑΣΕΠ, ελπίζω): να βρεθεί η ελάχιστη δυνατή απόσταση των δύο κλάδων μέσω του κέντρου συμμετρίας, να βρεθεί δηλαδή το ελάχιστο δυνατό μήκος ευθύγραμμου τμήματος με άκρα πάνω στην καμπύλη και μέσο το κέντρο συμμετρίας.

[Θα μπορούσε βέβαια να παρατηρήσει κάποιος ότι το ευθύγραμμο τμήμα που αντιστοιχεί στην ελάχιστη απόσταση ανάμεσα στους δύο κλάδους οφείλει να έχει ως μέσο του το κέντρο συμμετρίας...]

Γιώργος Μπαλόγλου


Γιώργος Μπαλόγλου -- κρυσταλλογράφω άρα υπάρχω

Ὁρᾷς, τὸ κάλλος ὅσσον ἐστὶ τῆς λίθου, ἐν ταῖς ἀτάκτοις τῶν φλεβῶν εὐταξίαις. -- Παλατινή Ανθολογία 9.695 -- Ιδού του πετραδιού η άμετρη ομορφιά, μεσ' των φλεβών τις άναρχες πειθαρχίες.
Άβαταρ μέλους
gbaloglou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2696
Εγγραφή: Παρ Φεβ 27, 2009 10:24 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονικη
Επικοινωνία:

Re: κέντρο συμμετρίας.

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από gbaloglou » Κυρ Ιαν 01, 2012 1:29 pm

gbaloglou έγραψε:...Ας προτείνω κάτι πιο δύσκολο (εντός ορίων ΑΣΕΠ, ελπίζω): να βρεθεί η ελάχιστη δυνατή απόσταση των δύο κλάδων μέσω του κέντρου συμμετρίας, να βρεθεί δηλαδή το ελάχιστο δυνατό μήκος ευθύγραμμου τμήματος με άκρα πάνω στην καμπύλη και μέσο το κέντρο συμμετρίας.

[Θα μπορούσε βέβαια να παρατηρήσει κάποιος ότι το ευθύγραμμο τμήμα που αντιστοιχεί στην ελάχιστη απόσταση ανάμεσα στους δύο κλάδους οφείλει να έχει ως μέσο του το κέντρο συμμετρίας...]
Θυμήθηκα το θέμα αυτό με αφορμή ... την ημερομηνία: είχα καταλήξει στο συμπέρασμα ότι η καλύτερη αντιμετώπιση βασίζεται σε μελέτη της a/x και αναγωγή του όλου θέματος σ' αυτήν την ειδική περίπτωση με αλλαγή μεταβλητών -- ακολουθώντας δηλαδή την μέθοδο του εορτάζοντος Βασίλη Κακαβά :santalogo:

Γιώργος Μπαλόγλου


Γιώργος Μπαλόγλου -- κρυσταλλογράφω άρα υπάρχω

Ὁρᾷς, τὸ κάλλος ὅσσον ἐστὶ τῆς λίθου, ἐν ταῖς ἀτάκτοις τῶν φλεβῶν εὐταξίαις. -- Παλατινή Ανθολογία 9.695 -- Ιδού του πετραδιού η άμετρη ομορφιά, μεσ' των φλεβών τις άναρχες πειθαρχίες.
Απάντηση

Επιστροφή σε “Προτεινόμενα Θέματα Μαθηματικών”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης