Παντού ασυνεχής

Συντονιστής: chris_gatos

s.kap
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2455
Εγγραφή: Τρί Δεκ 08, 2009 6:11 pm
Τοποθεσία: Ιωάννινα

Παντού ασυνεχής

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από s.kap » Δευ Νοέμ 28, 2011 8:48 pm

Να βρεθεί συνάρτηση f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}, η οποία είναι παντού ασυνεχής και f(f(x))=x,\ \forall x \in \mathbb{R}


Σπύρος Καπελλίδης
Άβαταρ μέλους
chris_gatos
Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 6827
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 9:03 pm
Τοποθεσία: Πειραιάς

Re: Παντού ασυνεχής

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από chris_gatos » Δευ Νοέμ 28, 2011 9:03 pm

Σπύρο ταχέως σκέφτηκα τη συνάρτηση με τύπο:

\displaystyle{ 
f(x) = \left\{ {\begin{array}{*{20}c} 
   {2 - x,x \in Q}  \\ 
   { - x,x \in R - Q}  \\ 
\end{array}} \right. 
}

Ελπίζω μα μην είμαι λάθος.


Χρήστος Κυριαζής
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 11549
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Παντού ασυνεχής

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Δευ Νοέμ 28, 2011 9:08 pm

s.kap έγραψε:Να βρεθεί συνάρτηση f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}, η οποία είναι παντού ασυνεχής και f(f(x))=x,\ \forall x \in \mathbb{R}
Θέτουμε f(0) = 1, \, f(1)=0. Στους υπόλοιπους ρητούς f(q)=q και στους άρρητους f(a)=-a. Εύκολα βλέπουμε ότι ικανοποιεί f(f(x))=x και ότι είναι παντού ασυνεχής (χρειάζεται χωριστή εξέταση των περιπτώσεων 0, 1, \mathbb Q -\{0, 1\}, \, \mathbb Q^c) .

Φιλικά,

Μιχάλης

Edit. Με πρόλαβε ο Χρήστος αλλά το αφήνω, αν και οι συναρτήσεις μοιάζουν πολύ.


Απάντηση

Επιστροφή σε “Προτεινόμενα Θέματα Μαθηματικών”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης