Σελίδα 1 από 1

Παντού ασυνεχής

Δημοσιεύτηκε: Δευ Νοέμ 28, 2011 8:48 pm
από s.kap
Να βρεθεί συνάρτηση f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}, η οποία είναι παντού ασυνεχής και f(f(x))=x,\ \forall x \in \mathbb{R}

Re: Παντού ασυνεχής

Δημοσιεύτηκε: Δευ Νοέμ 28, 2011 9:03 pm
από chris_gatos
Σπύρο ταχέως σκέφτηκα τη συνάρτηση με τύπο:

\displaystyle{ 
f(x) = \left\{ {\begin{array}{*{20}c} 
   {2 - x,x \in Q}  \\ 
   { - x,x \in R - Q}  \\ 
\end{array}} \right. 
}

Ελπίζω μα μην είμαι λάθος.

Re: Παντού ασυνεχής

Δημοσιεύτηκε: Δευ Νοέμ 28, 2011 9:08 pm
από Mihalis_Lambrou
s.kap έγραψε:Να βρεθεί συνάρτηση f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}, η οποία είναι παντού ασυνεχής και f(f(x))=x,\ \forall x \in \mathbb{R}
Θέτουμε f(0) = 1, \, f(1)=0. Στους υπόλοιπους ρητούς f(q)=q και στους άρρητους f(a)=-a. Εύκολα βλέπουμε ότι ικανοποιεί f(f(x))=x και ότι είναι παντού ασυνεχής (χρειάζεται χωριστή εξέταση των περιπτώσεων 0, 1, \mathbb Q -\{0, 1\}, \, \mathbb Q^c) .

Φιλικά,

Μιχάλης

Edit. Με πρόλαβε ο Χρήστος αλλά το αφήνω, αν και οι συναρτήσεις μοιάζουν πολύ.