Εξίσωση!

#1

Να λυθεί η εξίσωση

$\displaystyle{4^x-3^x=\tan 15^o.}$

kostas_zervos · #2

matha έγραψε:Να λυθεί η εξίσωση

$\displaystyle{4^x-3^x=\tan 15^o.}$

Είναι $\tan 30^o=\dfrac{\sqrt{3}}{3}=\dfrac{2\tan 15^o}{1-\tan^215^o}\iff \tan^215^o+2\sqrt{3}\tan 15^o-1=0$ και αφού $\tan 15^o>0$ , έχουμε $\tan 15^o=2-\sqrt{3}$ .

Άρα $4^x-3^x=2-\sqrt{3}$ .

Η συνάρτηση f(x)=4^x-3^x

είναι συνεχής στο $\Bbb{R}$ και $f'(x)=4^xln 4-3^xln 3>0\iff x>ln\left(\dfrac{ln 3}{ln 4}\right)ln \dfrac{4}{3}$ , άρα γνησίως αύξουσα στο $\left[ln\left(\dfrac{ln 3}{ln 4}\right)ln \dfrac{4}{3},+\infty\right)$ και γνησίως αύξουσα στο φθίνουσα στο $\left(-\infty,ln\left(\dfrac{ln 3}{ln 4}\right)ln \dfrac{4}{3}\right]$ , όπου $ln\left(\dfrac{ln 3}{ln 4}\right)ln \dfrac{4}{3}<0$ .

Είναι $\displaystyle\lim_{x\to-\infty}f(x)=0$ και $f\left(ln\left(\dfrac{ln 3}{ln 4}\right)ln \dfrac{4}{3}\right)<f(0)=0$ .

Άρα για κάθε x<0

έχουμε $f(x)<0\Rightarrow f(x)\neq 2-\sqrt{3}$ .

Στο $[0,+\infty)$ είναι γνησίως αύξουσα και $f\left(\dfrac{1}{2}\right)=2-\sqrt{3}$ , επομένως η μοναδική λύση της εξίσωσης είναι το $x=\dfrac{1}{2}$ .

Εξίσωση!

Εξίσωση!

Re: Εξίσωση!

Μέλη σε σύνδεση