Ένα όριο!

Συντονιστής: chris_gatos

Άβαταρ μέλους
matha
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 6076
Εγγραφή: Παρ Μάιος 21, 2010 7:40 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη

Ένα όριο!

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από matha » Παρ Ιούλ 29, 2016 11:04 pm

Το

\displaystyle{\lim_{x\to 0}x\left[\frac{1}{x}\right]}

α) ισούται με \displaystyle{0}, β) ισούται με \displaystyle{1}, γ) δεν υπάρχει, δ) ισούται με \displaystyle{+\infty}

Αιτιολογήστε την απάντησή σας.

Με \displaystyle{\left[...\right]} συμβολίζουμε το ακέραιο μέρος.


Μάγκος Θάνος
Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 3383
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα
Επικοινωνία:

Re: Ένα όριο!

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Παρ Ιούλ 29, 2016 11:22 pm

matha έγραψε:Το

\displaystyle{\lim_{x\to 0}x\left[\frac{1}{x}\right]}

α) ισούται με \displaystyle{0}, β) ισούται με \displaystyle{1}, γ) δεν υπάρχει, δ) ισούται με \displaystyle{+\infty}

Αιτιολογήστε την απάντησή σας.

Με \displaystyle{\left[...\right]} συμβολίζουμε το ακέραιο μέρος.
Γεια σου Θάνο. Μία προσπάθεια, ελπίζω σωστή.
Γνωρίζουμε ότι 0 \leq t - \left[ t \right ]<1 για κάθε t \in \mathbb{R}. Συνεπώς για x \neq 0 έχουμε:
\displaystyle{\begin{aligned} 
0\leq \frac{1}{x} - \left[ \frac{1}{x} \right ] <1 &\Rightarrow - \frac{1}{x} \leq - \left[ \frac{1}{x} \right] < 1- \frac{1}{x}\\  
 &\Rightarrow -1 \leq -x \left[ \frac{1}{x} \right ] <x - 1 \\ 
 &\Rightarrow 1-x < x \left [ \frac{1}{x} \right ] \leq 1 
\end{aligned}} Τώρα για x>0 παίρνοντας όριο στην παραπάνω βγάζουμε ότι το ζητούμενο όριο είναι 1, ενώ για x αρνητικό έχουμε ότι \displaystyle{1\leq x \left [ \frac{1}{x} \right ] <1-x} και παίρνοντας πάλι όριο βγάζουμε ότι κάνει 1. Άρα , απαντάω (β). Ελπίζω να τα λέω σωστά , διότι :sleeping:


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}
mick7
Δημοσιεύσεις: 17
Εγγραφή: Παρ Δεκ 25, 2015 4:49 am

Re: Ένα όριο!

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από mick7 » Παρ Ιούλ 29, 2016 11:28 pm

Όμορφο θέμα... υπάρχει και εδώ

http://math.stackexchange.com/questions ... -such-that


Απάντηση

Επιστροφή σε “Προτεινόμενα Θέματα Μαθηματικών”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης