15 μοίρες σε ισοσκελές

Συντονιστής: chris_gatos

Άβαταρ μέλους
Γιώργος Απόκης
Διευθύνον Μέλος
Δημοσιεύσεις: 5092
Εγγραφή: Δευ Μάιος 16, 2011 7:56 pm
Τοποθεσία: Πάτρα
Επικοινωνία:

15 μοίρες σε ισοσκελές

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Απόκης » Σάβ Ιούλ 30, 2016 8:37 am

Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο ABC~(AB=AC). Θεωρούμε σημείο D της AB με \widehat{BCD}=15^{o}.

Aν ισχύει BC=AD\sqrt{6}, να υπολογίσετε το μέτρο της γωνίας \hat{A}.


Γιώργος
Άβαταρ μέλους
Ορέστης Λιγνός
Δημοσιεύσεις: 1276
Εγγραφή: Κυρ Μάιος 08, 2016 7:19 pm
Τοποθεσία: Χαλάνδρι Αττικής

Re: 15 μοίρες σε ισοσκελές

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Ορέστης Λιγνός » Σάβ Ιούλ 30, 2016 11:41 am


Καλημέρα κύριε Γιώργο!

Μια προσπάθεια, ελπίζω σωστή.

Έστω AD=x,BC=x \sqrt{6}.

Από νόμο ημιτόνων στα DAC,BDC είναι

\displaystyle \frac{x \sqrt{6}}{\sin BDC} = \frac{DC}{\sin \phi} \Leftrightarrow \dfrac{DC}{x}=\frac{\sqrt{6} \sin \phi}{\sin(\phi+15)}

\displaystyle \frac{DC}{\sin A}=\frac{x}{\sin (\phi-15)} \Leftrightarrow \dfrac{DC}{x}= \dfrac{\sin 2\phi}{\sin (\phi-15)}.

Άρα, \dfrac{\sqrt{6} \sin \phi}{\sin(\phi+15)}= \dfrac{\sin 2\phi}{\sin (\phi-15)}, και αυτή τελικά γράφεται

\dfrac{\sin \phi \cdot \sin(\phi-15)}{\sin(2 \phi) \cdot \sin(\phi+15)}=\dfrac{\sqrt{6}}{6}, και, λόγω μονοτονίας, \phi=45.

Άρα, A=90^0.


Άβαταρ μέλους
Γιώργος Απόκης
Διευθύνον Μέλος
Δημοσιεύσεις: 5092
Εγγραφή: Δευ Μάιος 16, 2011 7:56 pm
Τοποθεσία: Πάτρα
Επικοινωνία:

Re: 15 μοίρες σε ισοσκελές

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Απόκης » Σάβ Ιούλ 30, 2016 5:01 pm

:coolspeak:


Γιώργος
Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 5754
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: 15 μοίρες σε ισοσκελές

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Σάβ Ιούλ 30, 2016 9:12 pm

Γιώργος Απόκης έγραψε:Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο ABC~(AB=AC). Θεωρούμε σημείο D της AB με \widehat{BCD}=15^{o}.

Aν ισχύει BC=AD\sqrt{6}, να υπολογίσετε το μέτρο της γωνίας \hat{A}.
Καλησπέρα σας .

Μια άποψη ακόμη .

Αν θεωρήσουμε μονάδα μέτρησης το μήκος του AD, τότε BC = \sqrt 6 .

Ας ξεκινήσουμε κατασκευαστικά.

Θεωρούμε τρίγωνο DBC με BC = \sqrt 6 \,\,,\,\,B = 45^\circ \,\,,\,\,C = 15^\circ. Επιλύοντας το τρίγωνο ( π.χ. με νόμο ημιτόνων ) βρίσκουμε:

\boxed{DC = 2\,\,\kappa \alpha \iota \,\,DB = \sqrt 3  - 1} .
15 μοίρες σε ισοσκελές_κατασκευή_λύση.png
15 μοίρες σε ισοσκελές_κατασκευή_λύση.png (19.36 KiB) Προβλήθηκε 1355 φορές
Φέρνουμε και τη μεσοκάθετη του BC που την τέμνει στο M τις δε ευθείες DB\,\,\kappa \alpha \iota \,\,DC στα A,E αντίστοιχα.

Επειδή , MC = EC \cdot \cos C θα έχουμε : \dfrac{{\sqrt 6 }}{2} = EC\dfrac{{\sqrt 6  - \sqrt 2 }}{4} \Rightarrow \boxed{EC = 3 - \sqrt 3 } και \boxed{ED = \sqrt 3  - 1}.

Στο τρίγωνο DBC με διατέμνουσα \overline {AEM} από το Θεώρημα του Μενελάου , έχουμε: \dfrac{{DA}}{{AB}} \cdot \dfrac{{BM}}{{MC}} \cdot \dfrac{{CE}}{{ED}} = 1

Αν θέσουμε AD = x η προηγούμενη οδηγεί στην εξίσωση : \boxed{\frac{{\sqrt 3  - 1 + x}}{x} = \frac{{3 - \sqrt 3 }}{{\sqrt 3  - 1}} \Leftrightarrow x = 1}

Τώρα προφανώς το τρίγωνο ABC εκπληρώνει τις προδιαγραφές της άσκησης και είναι ισοσκελές ορθογώνιο στο A.


Φιλικά Νίκος


Άβαταρ μέλους
Γιώργος Απόκης
Διευθύνον Μέλος
Δημοσιεύσεις: 5092
Εγγραφή: Δευ Μάιος 16, 2011 7:56 pm
Τοποθεσία: Πάτρα
Επικοινωνία:

Re: 15 μοίρες σε ισοσκελές

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Απόκης » Σάβ Ιούλ 30, 2016 9:45 pm

Ευχαριστώ Νίκο!


Γιώργος
Άβαταρ μέλους
Μιχάλης Νάννος
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 3101
Εγγραφή: Δευ Ιαν 05, 2009 4:09 pm
Τοποθεσία: Σαλαμίνα
Επικοινωνία:

Re: 15 μοίρες σε ισοσκελές

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μιχάλης Νάννος » Κυρ Ιούλ 31, 2016 8:12 am



«Δε θα αντικαταστήσει ο υπολογιστής τον καθηγητή...θα αντικατασταθεί ο καθηγητής που δεν ξέρει υπολογιστή...» - Arthur Clarke
Άβαταρ μέλους
Γιώργος Απόκης
Διευθύνον Μέλος
Δημοσιεύσεις: 5092
Εγγραφή: Δευ Μάιος 16, 2011 7:56 pm
Τοποθεσία: Πάτρα
Επικοινωνία:

Re: 15 μοίρες σε ισοσκελές

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Απόκης » Κυρ Ιούλ 31, 2016 10:06 am

Καλημέρα Μιχάλη. Ευχαριστώ, δεν το θυμόμουν :-)


Γιώργος
Απάντηση

Επιστροφή σε “Προτεινόμενα Θέματα Μαθηματικών”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης