Πόσο κάνει;

Συντονιστής: chris_gatos

Άβαταρ μέλους
matha
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 6076
Εγγραφή: Παρ Μάιος 21, 2010 7:40 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη

Πόσο κάνει;

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από matha » Τρί Αύγ 30, 2016 11:45 pm

Υπολογίστε το

\displaystyle{\tan \left(2\arcsin \frac{1}{\sqrt{5}}\right)}


Μάγκος Θάνος
Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 3383
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα
Επικοινωνία:

Re: Πόσο κάνει;

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Τετ Αύγ 31, 2016 1:41 am

matha έγραψε:Υπολογίστε το

\displaystyle{\tan \left(2\arcsin \frac{1}{\sqrt{5}}\right)}
Γεια σου Θάνο. Μία λύση με τριγωνομετρία και ανάλυση. :shock:

Λήμμα 1: Ισχύει ότι \displaystyle{\tan \left ( 2\arctan x \right )= \frac{2x}{1-x^2}} διότι αν θέσουμε \arctan x = \theta τότε x= \tan \theta και κατά συνέπεια:
\displaystyle{\tan 2\theta = \frac{2\tan \theta}{1-\tan^2 \theta} = \frac{2x}{1-x^2}} Λήμμα 2: \displaystyle{\arcsin \frac{1}{\sqrt{5}}= \arctan \frac{1}{2}} διότι
\displaystyle{\begin{aligned} 
\arcsin \frac{1}{\sqrt{5}} &=-i \log \left ( \frac{i}{\sqrt{5}} +\sqrt{1- \left (\frac{1}{\sqrt{5}}  \right )^2 } \right ) \\  
 &=-i \log \left ( \frac{i}{\sqrt{5}} + \sqrt{\frac{4}{5}} \right ) \\  
 &= -i \log \left ( \frac{2+i}{\sqrt{5}} \right )\\  
 &=-i \log \left ( 2+i \right ) + \frac{i}{2} \log 5 \\  
 &= -i \left ( \frac{\log 5}{2} + i \arctan \frac{1}{2} \right ) + \frac{i \log 5}{2} \\ 
 &= \arctan \frac{1}{2} 
\end{aligned}} Οπότε για την αρχική άσκηση έχουμε:
\displaystyle{\begin{aligned} 
\tan \left ( 2 \arcsin \frac{1}{\sqrt{5}} \right ) &\overset{(2)}{=} \tan \left ( 2 \arctan \frac{1}{2} \right ) \\  
 &\overset{(1)}{=} \frac{2\cdot \frac{1}{2}}{1- \left ( \frac{1}{2} \right )^2} \\  
 &=\frac{1}{\frac{3}{4}} \\  
 &= \frac{4}{3} 
\end{aligned}} Θάνο, τι έχεις κατά νου;


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}
maiksoul
Δημοσιεύσεις: 605
Εγγραφή: Παρ Αύγ 30, 2013 12:35 am
Τοποθεσία: ΚΕΡΚΥΡΑ

Re: Πόσο κάνει;

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από maiksoul » Τετ Αύγ 31, 2016 1:51 am

Καλησπέρα Θάνο . Μια προσπάθεια:
Άν arcsin\frac{1}{\sqrt{5}}=x\Rightarrow sinx=\frac{1}{\sqrt{5}} > 0 τότε cosx=\sqrt{1-sin^2x}=\frac{2}{\sqrt{5}} και tanx=\frac{sinx}{cosx}=\frac{1}{2}
Επομένως το ζητούμενο είναι :
tan2x=\frac{2tanx}{1-tan^2x}=\frac{1}{\frac{3}{4}}=\frac{4}{3}


ΣΟΥΛΑΝΗΣ ΜΙΧΑΛΗΣ
Άβαταρ μέλους
matha
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 6076
Εγγραφή: Παρ Μάιος 21, 2010 7:40 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη

Re: Πόσο κάνει;

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από matha » Τετ Αύγ 31, 2016 3:03 am

Tolaso J Kos έγραψε:
Θάνο, τι έχεις κατά νου;

Σύμφωνα με το σχήμα, ζητάμε το

\displaystyle{\tan 2x,} όπου προφανώς \displaystyle{\tan x=\frac{1}{2}.}

Άρα

\displaystyle{\tan 2x=\frac{2\cdot \frac{1}{2}}{1-\left(\frac{1}{2}\right)^2}=\frac{4}{3}.}


Μάγκος Θάνος
Απάντηση

Επιστροφή σε “Προτεινόμενα Θέματα Μαθηματικών”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης