Εύρεση σημείου στον χώρο

Συντονιστής: chris_gatos

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 1796
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Εύρεση σημείου στον χώρο

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Τρί Ιούλ 18, 2017 9:01 pm

Δίνονται A_{1},A_{2},....A_{n},n\geq 2

σημεία στον χώρο και a_{1},a_{2},...a_{n}\in \mathbb{R}

με \sum_{i=1}^{n}a_{i}> 0

Να προσδιορισθεί σημείο του χώρου M ώστε το

\sum_{i=1}^{n}a_{i}MA_{i}^{2}

να γίνεται ελάχιστο.



Λέξεις Κλειδιά:
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 10162
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Εύρεση σημείου στον χώρο

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Τετ Ιούλ 19, 2017 7:05 pm

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε:Δίνονται A_{1},A_{2},....A_{n},n\geq 2

σημεία στον χώρο και a_{1},a_{2},...a_{n}\in \mathbb{R}

με \sum_{i=1}^{n}a_{i}> 0

Να προσδιορισθεί σημείο του χώρου M ώστε το

\sum_{i=1}^{n}a_{i}MA_{i}^{2}

να γίνεται ελάχιστο.
Γράφω c = \sum_{i=1}^{n}a_{i}> 0. Με διανύσματα, ας τα ονομάσουμε \vec {M}, \vec {A_1},..., \vec {A_n}. Τότε η δοθείσα παράσταση είναι

\sum_{i=1}^{n}a_{i}MA_{i}^{2} = \sum_{i=1}^{n}a_{i}(\vec {M} - \vec {A_{i}}) \cdot (\vec {M} - \vec {A_{i}})=

=c \vec {M}\cdot \vec {M} -2\vec {M}\cdot  \left ( \sum_{i=1}^{n}a_{i} \vec {A_{i}} \right ) +\sum_{i=1}^{n}a_{i} \vec {A_{i}}\cdot \vec {A_{i}}

= \left (\sqrt {c } \vec {M} - \frac {1}{\sqrt c} \sum_{i=1}^{n}a_{i} \vec {A_{i}}\right )^2 +\sum_{i=1}^{n}a_{i} \vec {A_{i}}\cdot \vec {A_{i}}- \frac {1}{ c} \left ( \sum_{i=1}^{n}a_{i} \vec {A_{i}}\right)^2

O πρώτος προσθετέος είναι ο μόνος που περιέχει το M, και ισούται \displaystyle{ \left | \left |\sqrt {c } \vec {M} - \frac {1}{\sqrt c} \sum_{i=1}^{n}a_{i} \vec {A_{i}}\right | \right |^2} \ge 0. Άρα το ελάχιστο το λαμβάνουμε όταν ο όρος αυτός μηδενίζεται, δηλαδή όταν
\displaystyle{ \vec {M} = \frac {1}{c} \sum_{i=1}^{n}a_{i} \vec {A_{i}}}.

Άλλος τρόπος (μόνο τα βήματα). Αν θέσουμε M(x,y,z) και A_k(p_k,q_k,r_k) , το δοθέν είναι το

\sum_{i=1}^{n}a_{i}((x-p_i)^2 + (y-q_i)^2+(z-r_i)^2)

Παραγωγίζοντας μερικώς ως προς x,y,z και θέτοντας ίσο με το 0, θα βρούμε

2\sum_{i=1}^{n}a_{i}(x-p_i)=0 και όμοια τα άλλα δύο.

Λύνοντας βρίσκουμε τα x,y,z (ίδια με τα παραπάνω) και με χρήση κριτηρίου δεύτερης παραγώγου διαπιστώνουμε ότι έχουμε ελάχιστο.

Edit: Διόρθωσα τυπογραφικές μικροαβλεψίες.
τελευταία επεξεργασία από Mihalis_Lambrou σε Τετ Ιούλ 19, 2017 9:50 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 1796
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Εύρεση σημείου στον χώρο

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Τετ Ιούλ 19, 2017 7:24 pm

Πολύ ωραία Μιχάλη.

Κάτι τέτοιο είχα στο μυαλό μου. (την πρώτη λύση που είναι και επιπέδου Λυκείου)

Να σημειώσω ότι το M είναι το κέντρο μάζης των σημείων με μάζες a_{1},a_{2},....a_{n}
(επιτρέπουμε και αρνητικές μάζες).

Ειναι φανερό ότι αν \sum_{i=1}^{n}a_{i}< 0 δεν υπάρχει ελάχιστο.

Ενώ αν \sum_{i=1}^{n}a_{i}= 0 δεν το έχω ψάξει.


Απάντηση

Επιστροφή σε “Προτεινόμενα Θέματα Μαθηματικών”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης