mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Παρ Αύγ 25, 2017 12:14 pm**

Αν οι ρίζες του πολυωνύμου(με μιγαδικούς συντελεστές) $\displaystyle{P(x)}$ με $\displaystyle{P(x) = {x^\nu } + {\alpha _1}{x^{\nu - 1}} + .... + {\alpha _{\nu-1}}{x^{}} + {\left( { - 1} \right)^\nu },\nu \in {{\rm N}^ * }}$ , έχουν ίσα μέτρα, τότε το $\displaystyle{P( - 1)}$ είναι

Α) Καθαρός μιγαδικός αριθμός
Β) Καθαρός φανταστικός αριθμός.
Γ) Πραγματικός αριθμός.
Δ) Από άλλον πλανήτη;

Να τεκμηριώσετε την απάντησή σας παρουσιάζοντας μια πλήρη λύση.

Δημοσιεύτηκε: **Σάβ Αύγ 26, 2017 3:25 am**

Αν $r_1,r_2,\ldots, r_{\nu}$ οι ρίζες, από τύπους Vieta παίρνουμε $r_1r_2\cdots r_{\nu}=1$ κι έτσι παίρνοντας μέτρα και χρησιμοποιώντας την ισότητα των μέτρων των ριζών, όλες ανήκουν στο μοναδιαίο κύκλο. Άρα $\overline{r_i}=\dfrac{1}{r_i}$ για κάθε

με $i=1,2,\ldots, \nu$ .

Διακρίνουμε τις εξής περιπτώσεις:

$\blacksquare$ Αν ο $\nu$ είναι περιττός τότε από τους τύπους Vieta έχουμε:

$\begin{aligned}r_1+r_2+\cdots r_{\nu} = -a_1 &\Leftrightarrow \overline{r_1+r_2+\cdots r_{\nu}}=-\overline{a_1} \Leftrightarrow \dfrac{1}{r_1}+\dfrac{1}{r_2}+\cdots + \dfrac{1}{r_{\nu}} = -\overline{a_1} \\ &\Leftrightarrow \dfrac{r_2r_3\cdots r_{\nu} + r_1r_3\cdots r_{\nu} + r_1r_2\cdots r_{\nu-1}}{r_1r_2\cdots r_{\nu}} = -\overline{a_1} \\ &\stackrel{\text{Vieta}}{\Leftrightarrow} \dfrac {a_{\nu-1}}{1}=-\overline{a_1} \Leftrightarrow \boxed{a_{\nu-1}=-\overline{a_1}}\end{aligned}$

Επίσης:

$\begin{aligned}r_1r_2+r_1r_3+\cdots r_{\nu-1}r_{\nu} = a_2 &\Leftrightarrow \overline{r_1r_2+r_1r_3+\cdots r_{\nu-1}r_{\nu}}=\overline{a_2} \Leftrightarrow \dfrac{1}{r_1r_2}+\dfrac{1}{r_1r_3}+\cdots + \dfrac{1}{r_{\nu-1}r_{\nu}} = \overline{a_2} \\ &\Leftrightarrow \dfrac{r_3r_4\cdots r_{\nu} + r_2r_4\cdots r_{\nu} + r_1r_2\cdots r_{\nu-2}}{r_1r_2\cdots r_{\nu}} = \overline{a_2} \\ &\stackrel{\text{Vieta}}{\Leftrightarrow} \dfrac {-a_{\nu-2}}{1}=\overline{a_2} \Leftrightarrow \boxed{a_{\nu-2}=-\overline{a_2}}\end{aligned}$

Όμοια βγάζουμε ότι:

$a_{\nu-3}=-\overline{a_3}$
$a_{\nu-4}=-\overline{a_4}$
$\vdots$
$a_{\frac{\nu+1}{2}}=a_{\frac{\nu-1}{2}}$

Τελικά λοιπόν χρησιμοποιώντας τις παραπάνω σχέσεις:

$\begin{aligned}\overline{P(-1)} &= \overline{(-1)^{\nu}+a_1(-1)^{\nu-1}+a_2(-1)^{\nu-2}+\cdots + a_{\nu-1}(-1)+(-1)^{\nu}} \\ &= (-1)^{\nu}+\overline{a_1}(-1)^{\nu-1}+\overline{a_2}(-1)^{\nu-2}+\cdots + \overline{a_{\nu-1}}(-1)+(-1)^{\nu} \\ &= (-1)^{\nu}-a_{\nu-1}(-1)^{\nu-1}-a_{\nu-2}(-1)^{\nu-2}-\cdots - a_{1}(-1)+(-1)^{\nu} \\ &= (-1)^{\nu}+a_{\nu-1}(-1)+a_{\nu-2}(-1)^{2}+\cdots + a_{1}(-1)^{\nu-1}+(-1)^{\nu} = P(-1) \end{aligned}$

άρα $P(-1)\in\mathbb{R}$ συνεπώς το Γ) είναι η σωστή απάντηση σε αυτή την περίπτωση.

$\blacksquare$ Αν ο $\nu$ είναι άρτιος τότε με όμοια διαδικασία με την παραπάνω βγάζουμε επίσης ότι $P(-1)\in\mathbb{R}$ .

Edit (26/8/2017, 11:57): Έκανα διόρθωση

Αλέξανδρος

Δημοσιεύτηκε: **Σάβ Αύγ 26, 2017 11:03 am**

$n\equiv \nu$

Εστω $z_{i}=re^{ia_{i}},r> 0,i=1,2....n$
οι ρίζες του πολυωνύμου.
όπου $e^{ia}=\cos a+i\sin a$

Επειδή το γινόμενο των ριζών είναι

προκύπτει ότι

$r=1,\sum_{i=1}^{n}a_{i}=2k\pi ,k\in \mathbb{Z}$

Ειναι $1+e^{ia}=e^{\frac{ia}{2}}(e^{\frac{ia}{2}}+e^{-\frac{ia}{2}})=e^{\frac{ia}{2}}2\cos \frac{a}{2}$

Εχουμε
$P(-1)=\prod_{i=1}^{n}(-1-z_{i})=(-1)^{n}\prod_{i=1}^{n}(1+z_{i})=(-1)^{n}e^{\frac{i}{2}\sum_{i=1}^{n}a_{i}}2^{n}\prod_{i=1}^{n}\cos a_{i}=(-1)^{k}(-1)^{n}2^{n}\prod_{i=1}^{n}\cos a_{i}$

γιατί $e^{i\frac{2k\pi }{2}}=e^{ik\pi }=(-1)^{k}$

Αρα $P(-1)\in \mathbb{R}$

Με τον ίδιο τρόπο βρίσκουμε ότι

$P(1)=(-1)^{n+k}2^{n}i^{n}\prod_{i=1}^{n}\sin \frac{a_{i}}{2}$

mathematica.gr

Τι αριθμός είναι το Ρ(-1);;

Τι αριθμός είναι το Ρ(-1);;

Re: Τι αριθμός είναι το Ρ(-1);;

Re: Τι αριθμός είναι το Ρ(-1);;