Μελέτη αλγεβρικής συνάρτησης
Συντονιστής: chris_gatos
-
- Δημοσιεύσεις: 3600
- Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
- Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ
Μελέτη αλγεβρικής συνάρτησης
1)Δείξτε ότι υπάρχει μοναδική
ώστε για να ισχύει
2)Δείξτε ότι η παραπάνω συνάρτηση παραγωγίζεται στο πεδίο ορισμού της.
3)Εξετάστε την συνάρτηση ως προς τα κοίλα
4)Βρείτε
ώστε
με
ώστε για να ισχύει
2)Δείξτε ότι η παραπάνω συνάρτηση παραγωγίζεται στο πεδίο ορισμού της.
3)Εξετάστε την συνάρτηση ως προς τα κοίλα
4)Βρείτε
ώστε
με
Λέξεις Κλειδιά:
Re: Μελέτη αλγεβρικής συνάρτησης
Καλημέρα. Μια απάντηση για το πρώτο ερώτημα.
1. Έστω . Η συνάρτηση είναι συνεχής, γνησίως
αύξουσα στο με .
Συνεπώς, υπάρχει μοναδικό ώστε .
Σύμφωνα με την παραπάνω διαδικασία, αν σε κάθε αντιστοιχίσουμε το μοναδικό
για το οποίο ισχύει , τότε έχουμε την απεικόνιση
για την οποία, .
Η μοναδικότητα έπεται, από τη μοναδικότητα ρίζας της για κάθε .
1. Έστω . Η συνάρτηση είναι συνεχής, γνησίως
αύξουσα στο με .
Συνεπώς, υπάρχει μοναδικό ώστε .
Σύμφωνα με την παραπάνω διαδικασία, αν σε κάθε αντιστοιχίσουμε το μοναδικό
για το οποίο ισχύει , τότε έχουμε την απεικόνιση
για την οποία, .
Η μοναδικότητα έπεται, από τη μοναδικότητα ρίζας της για κάθε .
Παπαπέτρος Ευάγγελος
-
- Δημοσιεύσεις: 3600
- Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
- Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ
-
- Δημοσιεύσεις: 3600
- Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
- Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ
Re: Μελέτη αλγεβρικής συνάρτησης
Ξανά επαναφορά.
Κάποιες παρατηρήσεις.
1)Το ερώτημα 4 είναι ανεξάρτητο από τα άλλα και η απόδειξη του χρησιμοποιεί μόνο σχολική ύλη
2)Το ερώτημα 2 μπορεί να βγει με σχολική ύλη αλλά και με μη σχολική .
3)Το ερώτημα 3 που έχει και το μεγαλύτερο ενδιαφέρον βγαίνει με σχολική ύλη.
Και μια υπόδειξη.
Ποια είναι η αντίστροφη;
Κάποιες παρατηρήσεις.
1)Το ερώτημα 4 είναι ανεξάρτητο από τα άλλα και η απόδειξη του χρησιμοποιεί μόνο σχολική ύλη
2)Το ερώτημα 2 μπορεί να βγει με σχολική ύλη αλλά και με μη σχολική .
3)Το ερώτημα 3 που έχει και το μεγαλύτερο ενδιαφέρον βγαίνει με σχολική ύλη.
Και μια υπόδειξη.
Ποια είναι η αντίστροφη;
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 679
- Εγγραφή: Πέμ Ιουν 25, 2009 5:00 pm
- Τοποθεσία: Σπάρτη
- Επικοινωνία:
Re: Μελέτη αλγεβρικής συνάρτησης
2. Είναι και για κάθε έχουμε: .
Έστω . Τότε
Έχουμε:
Είναι
.
Όμως οπότε
δηλαδή η είναι συνεχής στο , οπότε είναι συνεχής στο
Έστω . Από προηγούμενα έχουμε:
.
Έστω . Για είναι .
Έστω με .
Τότε
.
Είναι
Άρα οπότε .
Δηλαδή .
Έστω . Τότε
Έχουμε:
Είναι
.
Όμως οπότε
δηλαδή η είναι συνεχής στο , οπότε είναι συνεχής στο
Έστω . Από προηγούμενα έχουμε:
.
Έστω . Για είναι .
Έστω με .
Τότε
.
Είναι
Άρα οπότε .
Δηλαδή .
Στράτης Αντωνέας
-
- Δημοσιεύσεις: 3600
- Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
- Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ
Re: Μελέτη αλγεβρικής συνάρτησης
Ενα πιο σύντομο τελείωμα.
Από το παραπάνω προκύπτει ότι
Παίρνοντας στην
και χρησιμοποιώντας την
καθώς και την συνέχεια της συνάρτησης στο παίρνουμε την παράγωγο στο .
Για το υπόλοιπο η απόδειξη του Στρατή είναι ακριβώς η ίδια με την δική μου.
-
- Δημοσιεύσεις: 3600
- Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
- Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ
Re: Μελέτη αλγεβρικής συνάρτησης
Είναι σαφές ότι η συνάρτηση είναι 1-1 και ότι η
με
Εχουμε ότι
Μετά από λίγες πράξεις διαπιστώνουμε ότι
Το 2 μπορεί να βγει με το θεώρημα παραγώγισης αντιστρόφου.
Επειδή βλέπουμε ότι η υπάρχει.
Ισχύει ότι
Γιατί αν
τότε ΑΤΟΠΟ
Συμπεραίνουμε ότι
Παραγωγίζοντας την σχέση
δύο φορές παίρνουμε ότι
Λαμβάνοντας υπ οψιν τα προηγούμενα παίρνουμε από την τελευταία ότι
που δείχνει ότι η είναι κυρτή
Μένει το 4 που είναι δυο γραμμές.
με
Εχουμε ότι
Μετά από λίγες πράξεις διαπιστώνουμε ότι
Το 2 μπορεί να βγει με το θεώρημα παραγώγισης αντιστρόφου.
Επειδή βλέπουμε ότι η υπάρχει.
Ισχύει ότι
Γιατί αν
τότε ΑΤΟΠΟ
Συμπεραίνουμε ότι
Παραγωγίζοντας την σχέση
δύο φορές παίρνουμε ότι
Λαμβάνοντας υπ οψιν τα προηγούμενα παίρνουμε από την τελευταία ότι
που δείχνει ότι η είναι κυρτή
Μένει το 4 που είναι δυο γραμμές.
-
- Δημοσιεύσεις: 3600
- Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
- Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ
Re: Μελέτη αλγεβρικής συνάρτησης
Κάνω το 4 για να κλείσει.
Η βασική παρατήρηση είναι ότι
Γιατί αν
τότε
που είναι ΑΤΟΠΟ.
Εχουμε (1)
Αλλά
Οπότε παίρνοντας
στην (1) συμπαιρένουμε ότι
Η βασική παρατήρηση είναι ότι
Γιατί αν
τότε
που είναι ΑΤΟΠΟ.
Εχουμε (1)
Αλλά
Οπότε παίρνοντας
στην (1) συμπαιρένουμε ότι
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 14 επισκέπτες