Μελέτη αλγεβρικής συνάρτησης

Συντονιστής: chris_gatos

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 1827
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Μελέτη αλγεβρικής συνάρτησης

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Δευ Σεπ 25, 2017 11:48 am

1)Δείξτε ότι υπάρχει μοναδική

f:[0,\infty )\rightarrow \mathbb{R}

ώστε για x\in [0,\infty ) να ισχύει

f^{5}(x)+xf(x)+x^{2}=0

2)Δείξτε ότι η παραπάνω συνάρτηση παραγωγίζεται στο πεδίο ορισμού της.

3)Εξετάστε την συνάρτηση ως προς τα κοίλα

4)Βρείτε a\in \mathbb{R}

ώστε \lim_{x\rightarrow \infty }\dfrac{f(x)}{x^{a}}=c

με c\in \mathbb{R},c\neq 0



Λέξεις Κλειδιά:
BAGGP93
Δημοσιεύσεις: 1351
Εγγραφή: Σάβ Ιούλ 02, 2011 8:48 pm
Τοποθεσία: Ιωάννινα - Αθήνα

Re: Μελέτη αλγεβρικής συνάρτησης

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από BAGGP93 » Τρί Σεπ 26, 2017 2:25 pm

Καλημέρα. Μια απάντηση για το πρώτο ερώτημα.

1. Έστω \displaystyle{x\geq 0} . Η συνάρτηση \displaystyle{F_{x}(t)=t^5+x\,t+x^2\,,t\in\mathbb{R}} είναι συνεχής, γνησίως

αύξουσα στο \displaystyle{\mathbb{R}} με \displaystyle{\lim_{t\to -\infty}F_{x}(t)=-\infty\,\,,\lim_{t\to +\infty}F_{x}(t)=+\infty} .

Συνεπώς, υπάρχει μοναδικό \displaystyle{t(x)=f(x)\in\mathbb{R}} ώστε \displaystyle{F_{x}(f(x))=0} .

Σύμφωνα με την παραπάνω διαδικασία, αν σε κάθε \displaystyle{x\geq 0} αντιστοιχίσουμε το μοναδικό \displaystyle{f(x)\in\mathbb{R}}

για το οποίο ισχύει \displaystyle{F_{x}(f(x))=0\iff f^5(x)+x\,f(x)+x^2=0} , τότε έχουμε την απεικόνιση \displaystyle{f:\left[0,+\infty\right)\to \mathbb{R}}

για την οποία, \displaystyle{f^5(x)+x\,f(x)+x^2=0\,,\forall\,x\geq 0} .

Η μοναδικότητα έπεται, από τη μοναδικότητα ρίζας της \displaystyle{F_{x}} για κάθε \displaystyle{x\geq 0} .


Παπαπέτρος Ευάγγελος
ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 1827
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Μελέτη αλγεβρικής συνάρτησης

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Κυρ Οκτ 01, 2017 3:57 pm

Επαναφορά για τα υπόλοιπα ερωτήματα.


ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 1827
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Μελέτη αλγεβρικής συνάρτησης

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Δευ Οκτ 16, 2017 10:02 am

Ξανά επαναφορά.
Κάποιες παρατηρήσεις.
1)Το ερώτημα 4 είναι ανεξάρτητο από τα άλλα και η απόδειξη του χρησιμοποιεί μόνο σχολική ύλη
2)Το ερώτημα 2 μπορεί να βγει με σχολική ύλη αλλά και με μη σχολική .
3)Το ερώτημα 3 που έχει και το μεγαλύτερο ενδιαφέρον βγαίνει με σχολική ύλη.
Και μια υπόδειξη.
Ποια είναι η αντίστροφη;


stranton
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 662
Εγγραφή: Πέμ Ιουν 25, 2009 5:00 pm
Τοποθεσία: Σπάρτη
Επικοινωνία:

Re: Μελέτη αλγεβρικής συνάρτησης

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από stranton » Τρί Οκτ 17, 2017 6:04 pm

2. Είναι f(0)=0 και για κάθε x>0 έχουμε: f^5(x)+xf(x)+x^2=0 \Rightarrow f(x)[f^4(x)+x]=-x^2 \Rightarrow f(x)<0.

Έστω x_0\geq 0. Τότε f^5(x_0)+x_0f(x_0)+x_0^2=0.

Έχουμε: f^5(x)+xf(x)+x^2-f^5(x_0)-x_0f(x_0)-x_0^2=0=0 \Rightarrow

f^5(x)-f^5(x_0)+xf(x)-xf(x_0)+xf(x_0)-x_0f(x_0)+(x-x_0)(x+x_0)=0 \Rightarrow

[f(x)-f(x_0)][f^4(x)+f^3(x)f(x_0)+f^2(x)f^2(x_0)+f(x)f^3(x_0)+f^4(x_0)]+

x[f(x)-f(x_0)]+(x-x_0)(x+x_0+f(x_0)]=0 \Rightarrow

[f(x)-f(x_0)][f^4(x)+f^3(x)f(x_0)+f^2(x)f^2(x_0)+f(x)f^3(x_0)+f^4(x_0)+x]=

-(x-x_0)(x+x_0+f(x_0)]

Είναι 0\leq |f(x)-f(x_0)|\leq \dfrac{|x-x_0||x+x_0+f(x_0)|}{f^4(x)+f^3(x)f(x_0)+f^2(x)f^2(x_0)+f(x)f^3(x_0)+f^4(x_0)+x}\leq

\dfrac{|x-x_0||x+x_0+f(x_0)|}{x}.

Όμως \displaystyle \lim_{x\to x_0}\dfrac{|x-x_0||x+x_0+f(x_0)|}{x}=0 οπότε \displaystyle \lim_{x\to x_0}[f(x)-f(x_0)]=0

δηλαδή η f είναι συνεχής στο x_0, οπότε είναι συνεχής στο [0,+\infty).

\bullet Έστω x_0>0. Από προηγούμενα έχουμε:

\displaystyle \lim_{x\to x_0}\dfrac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=\lim_{x\to x_0}\dfrac{-[x+x_0+f(x_0)]}{f^4(x)+f^3(x)f(x_0)+f^2(x)f^2(x_0)+f(x)f^3(x_0)+f^4(x_0)+x}=

-\dfrac{2x_0+f(x_0)}{5f^4(x_0)+x_0}\in\mathbb{R}.

\bullet Έστω x_0=0. Για x>0 είναι xf(x)+x^2=-f^5(x)>0 \Rightarrow xf(x)+x^2>0 \Rightarrow \dfrac{f(x)}{x}>-1.

Έστω g(x)=\dfrac{f(x)-f(0)}{x-0}=\dfrac{f(x)}{x} με x>0.

Τότε f^5(x)+xf(x)+x^2=0 \Rightarrow x^5g^5(x)+x^2g(x)+x^2=0 \Rightarrow x^3g^5(x)+g(x)+1=0

g(x)=- x^3g^5(x)-1.

Είναι -1<g(x)<0 \Rightarrow |g(x)|<1 \Rightarrow |g^5(x)|<1

Άρα \displaystyle \lim_{x\to 0}[x^3g^5(x)]=0 οπότε \displaystyle \lim_{x\to 0}g(x)=\lim_{x\to 0}[- x^3g^5(x)-1]=-1.

Δηλαδή f'(0)=-1.


Στράτης Αντωνέας
ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 1827
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Μελέτη αλγεβρικής συνάρτησης

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Τρί Οκτ 17, 2017 7:03 pm

stranton έγραψε:
Τρί Οκτ 17, 2017 6:04 pm
\bullet Έστω x_0=0. Για x>0 είναι xf(x)+x^2=-f^5(x)>0 \Rightarrow xf(x)+x^2>0 \Rightarrow \dfrac{f(x)}{x}>-1.
Ενα πιο σύντομο τελείωμα.

Από το παραπάνω προκύπτει ότι \left | f(x) \right |\leq x

Παίρνοντας x\rightarrow 0^{+} στην

\dfrac{f^{5}(x)}{x^{2}}+\dfrac{f(x)}{x}+1=0

και χρησιμοποιώντας την \left | \dfrac{f^{5}(x)}{x^{2}} \right |\leq \left | f^{3}(x) \right |

καθώς και την συνέχεια της συνάρτησης στο0 παίρνουμε την παράγωγο στο 0 .

Για το υπόλοιπο η απόδειξη του Στρατή είναι ακριβώς η ίδια με την δική μου.


ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 1827
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Μελέτη αλγεβρικής συνάρτησης

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Τρί Οκτ 24, 2017 11:39 pm

Είναι σαφές ότι η συνάρτηση είναι 1-1 και ότι η

g=f^{-1}:(-\infty,0]\rightarrow \mathbb{R}

με g(x)=\dfrac{-x+\sqrt{x^{2}-4x^{5}}}{2}

Εχουμε ότι g'(x)=\frac{1}{2}(-1+\dfrac{2x-20x^{4}}{2\sqrt{x^{2}-4x^{5}}})< 0,x< 0

Μετά από λίγες πράξεις διαπιστώνουμε ότι g''(x)> 0,x< 0

Το 2 μπορεί να βγει με το θεώρημα παραγώγισης αντιστρόφου.

Επειδή f'(x)=-\dfrac{f(x)+2x}{5f^{4}(x)+x} βλέπουμε ότι η f'' υπάρχει.

Ισχύει ότι x> 0\Rightarrow f(x)+2x> 0

Γιατί αν f(x)\leq -2x

τότε 0=f^{5}(x)+xf(x)+x^{2}\leq -33x^{2} ΑΤΟΠΟ

Συμπεραίνουμε ότι x> 0\Rightarrow f'(x)< 0

Παραγωγίζοντας την σχέση

f(g(x))=x

δύο φορές παίρνουμε ότι

f''(g(x))(g'(x))^{2}+f'(g(x))g''(x)=0

Λαμβάνοντας υπ οψιν τα προηγούμενα παίρνουμε από την τελευταία ότι

x> 0\Rightarrow f''(x)> 0

που δείχνει ότι η f είναι κυρτή

Μένει το 4 που είναι δυο γραμμές.


ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 1827
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Μελέτη αλγεβρικής συνάρτησης

#8

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Κυρ Οκτ 29, 2017 9:54 pm

Κάνω το 4 για να κλείσει.

Η βασική παρατήρηση είναι ότι x\geq 1\Rightarrow \left | f(x) \right |\leq \left | x \right |^{\frac{2}{5}}

Γιατί αν \left | f(x) \right |> \left | x \right |^{\frac{2}{5}}

τότε x^{2}=x\left | f(x) \right |+\left | f(x) \right |^{5}> x^{2}

που είναι ΑΤΟΠΟ.

Εχουμε \dfrac{f^{5}(x)}{x^{2}}+\dfrac{f(x)}{x}+1=0 (1)

Αλλά \left | \dfrac{f(x)}{x} \right |\leq \dfrac{1}{x^{\frac{3}{5}}}

Οπότε παίρνοντας x\rightarrow \infty

στην (1) συμπαιρένουμε ότι c=-1,a=\frac{2}{5}


Απάντηση

Επιστροφή σε “Προτεινόμενα Θέματα Μαθηματικών”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης