ΣcosA<=2^0.5

#1

Αν

μη οξυγώνιο τρίγωνο, να αποδειχτεί ότι:

$cosA+cosB+cosC\leq \sqrt{2}$

#2

Έστω

η μη οξεία γωνία. Επειδή στο $[0,\pi/2]$ η $\cos{x}$ είναι κυρτή, από την ανισότητα Jensen έχω

$\displaystyle \cos{B} + \cos{C} \leqslant 2\cos\left( \frac{B+C}{2}\right) = 2\cos\left( \frac{\pi}{2} - \frac{A}{2}\right) = 2\sin\frac{A}{2}$

Επίσης $\cos{A} = 1 - 2\sin^2\frac{A}{2}$ .

Γράφοντας λοιπόν $x = \sin\frac{A}{2}$ , έχω $A/2 \in \left[\tfrac{\pi}{4},\tfrac{\pi}{2}\right)$ , και άρα $x \in \left[\tfrac{\sqrt{2}}{2},1\right)$ . Μένει να δείξω ότι για αυτά τα

ισχύει ότι

$\displaystyle 1-2x^2 + 2x \leqslant \sqrt{2}$

Όμως η συνάρτηση f(x) = 1-2x^2+2x

είναι φθίνουσα στο $\left[\tfrac{\sqrt{2}}{2},1\right)$ αφού f'(x) = 2-4x < 0

για

.

Άρα για $x \in \left[\tfrac{\sqrt{2}}{2},1\right)$ είναι $f(x) \leqslant f\left(\tfrac{\sqrt{2}}{2}\right) = \sqrt{2}$ .

Επεξεργασία: Διόρθωση τυπογραφικού.

#3

Demetres έγραψε: ↑
Πέμ Σεπ 28, 2017 10:39 am
Έστω η μη οξεία γωνία. Επειδή στο $[0,\pi/2]$ η $\cos{x}$ είναι κυρτή, από την ανισότητα Jensen έχω

$\displaystyle \cos{B} + \cos{C} \leqslant 2\cos\left( \frac{B+c}{2}\right) = 2\cos\left( \frac{\pi}{2} - \frac{A}{2}\right) = 2\sin\frac{A}{2}$

Επίσης $\cos{A} = 1 - 2\sin^2\frac{A}{2}$ .

Γράφοντας λοιπόν $x = \sin\frac{A}{2}$ , έχω $A/2 \in \left[\tfrac{\pi}{4},\tfrac{\pi}{2}\right)$ , και άρα $x \in \left[\tfrac{\sqrt{2}}{2},1\right)$ . Μένει να δείξω ότι για αυτά τα ισχύει ότι

$\displaystyle 1-2x^2 + 2x \leqslant \sqrt{2}$

Όμως η συνάρτηση είναι φθίνουσα στο $\left[\tfrac{\sqrt{2}}{2},1\right)$ αφού για .

Άρα για $x \in \left[\tfrac{\sqrt{2}}{2},1\right)$ είναι $f(x) \leqslant f\left(\tfrac{\sqrt{2}}{2}\right) = \sqrt{2}$ .

Δημήτρη, συμφωνείς ότι έχουμε ισότητα μόνο για ορθογώνιο ισοσκελές τρίγωνο;

#4

Αμέλησα να το γράψω αλλά ναι.

Στην

Demetres έγραψε: ↑
Πέμ Σεπ 28, 2017 10:39 am

$\displaystyle \cos{B} + \cos{C} \leqslant 2\cos\left( \frac{B+C}{2}\right)$

έχουμε ισότητα μόνο αν B=C

λόγω της αυστηρούς κυρτότητας.

Στην

Demetres έγραψε: ↑
Πέμ Σεπ 28, 2017 10:39 am

$\displaystyle 1-2x^2 + 2x \leqslant \sqrt{2}$

έχουμε ισότητα μόνο αν $x = \sqrt{2}$ λόγω του ότι η

είναι γνησίως αύξουσα στο συγκεκριμένο διάστημα.

Από αυτά βγαίνει άμεσα ότι $A = \pi/2$ και μετά ότι $B=C=\pi/4$ .

ΣcosA<=2^0.5

ΣcosA<=2^0.5

Re: ΣcosA<=2^0.5

Re: ΣcosA<=2^0.5

Re: ΣcosA<=2^0.5

Μέλη σε σύνδεση